D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线与路径无关的条件

高等数学、线性代数课件

§8.2.3 高斯公式 斯托克斯公式 空间曲线积分与路径 无关的条件 1. 通过闭曲面的流量若 为方向向外的闭曲面,则单位时间通过 的流量为

a dS

P d y d z Q d z d x Rdx d y

n n

当 > 0 时,说明流入 的流体质量少于 流出的,表明 内有“源”(或泉);

当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的,表明 内有“汇”(或洞) ; 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 .

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2.高斯(Gauss)公式 定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数, 则有

P d y d z Q d z d x Rdx d y (Gauss 公式) R 下面先证: d xd yd z z

Rd xd y

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证明: 设称为XY -型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) , 2 : z z 2 ( x, y ), 则 z 2 R z2 ( x, y ) R d x d y d z xd y dz Dxd z 3 z1 ( x , y ) z y

Dx y

R ( x , y , z 2 ( x, y ) ) R ( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y2 13

O

x

Dx y

1 y

R d x d y R d x d y R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdyDx y Dx y

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R 所以 z d x d y d z R d x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy

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例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)

9 d rd r (r sin z ) d z 0 0 0 2 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?2 1 3

(r sin z )r dr d d z

o 1 x

y

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2 2 2 例2. 计算 ( y x )dydz ( z y )dzdx ( x z )dxdy

其中 是曲面 z 2 x 2 y 2 (1 z 2)的上侧 z 解 记 0 : z 1 , x 2 y 2 1 取下侧

: 0所围成的闭区域P y 2 x, Q z 2 y, R x 2 z

z=1 y x

由Gauss 公式得 0

o( 0取外侧)

2 2 2 ( y x ) dydz ( z y ) dzdx ( x z )dxdy

( 1 1 1)dv 3 dv

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3 3 dv 3

d d dz 2 0 0 12 1

2 2

而 ( y 2 x )dydz ( z 2 y )dzdx ( x 2 z )dxdy 取下侧 0

3 ( x z )dxdy ( x 1)dxdy 4 D 220

3 9 故原式 3 2 4 4

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例3. 利用Gauss 公式计算积分

z其中 为锥面 x 2 y 2 z 2 介于 z = 0 及z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面

1 h ho x

y

2 2 2 1 : z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧

记 , 1所围区域为 , 则I ( 1 1

在 1 上 , 0 2

)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S2xy

2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y

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I 2 ( x y z ) d xdydz

Dx y

h d xd yz

2

利用重心公式, 注意 x y 04 2 z d x d ydz h

1 h ho x

y

2 z z d z h20

h

4

1 4 h 2

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3.斯托克斯( Stokes ) 公式

定理2. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一

个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有

P d x Q d y R d z (斯托克斯公式)

n

证: 情形1 与平行 z 轴的直线只交于一点, 设其方程为

zo x Dx y

: z f ( x, y ) , ( x, y ) D x y为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).

y C

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则

P d x C P( x, y, z ( x, y)) d x

P ( x, y, z ( x, y )) d x d y (利用格林公式) Dx y y n P P z z d xd y Dx y y z y P P o f y cos d S y y D z xy x C fy 1 cos , cos , 2 2 2 21 f x f y1 f x f y

cos fy cos

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P P cos cos d S 因此 P d x y z cos P P cos cos d S z y P P dzdx d xd y z y Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z x z R R R d x y d y d z x d z d x三式相加, 即得斯托克斯公式 ;

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情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助

曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕

注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.

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为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:

d yd z d zd x d xd y Pd x Qd y Rd z x y z P Q R

或用第一

类曲面积分表示:

cos cos cos x y z d S P d x Q d y R d z P Q R

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例4. 利用斯托克斯公式计算积分其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个 z 边界, 方向如图所示.

解: 记三角形域为 , 取上侧, 则o1

1

1 y

d yd z d zd x d xd y x y z

x

Dx y

z

x

y

3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2利用对称性

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例5. 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算

与平面 y = z 的交线,从 z

解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧, 则其法线方向余弦

z

y

利用斯托克斯公式得

cos cos cos I

o xdS

2 0

y

x 2

y

z

xy

xz …… 此处隐藏：2395字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……