数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)(2)

51．设⊙O1与⊙O2交于C、D。过D的直线交⊙O1与⊙O2于A、B。点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为△ABC外心。求证：MN⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。（09020401.gsp）

52．设X是P点的Simson线关于△ABC的垂极点。求证：XP被Simson线所平分。（09031903.gsp）

53．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC于E。求证：∠DHE=∠C。（09022202.gsp）

54．△ABC中，AD为边BC上的中线，E、F、G分别为AB、AC、AD上的

点，且A、E、G、F四点共圆。设△BDE外心为O1、半径为r1；△CDF外心为O2、半径为r2。求证：GO12＋GO22＝r12＋r22。（09031401.gsp）

B

55．已知P是△ABC内一点，A1、B1、C1分别是圆弧BPC、CPA、APB的中点。

求证：P、A1、B1、C1四点共圆。（09042401.gsp）