《高等数学》(北大第二版 )第02章习题课(2)

∴ A = f ( x0 ).

(3) ∵ limh →0

f ( x0 + h) f ( x0 ) + f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 + h) f ( x0 h) = lim h →0 h h f ( x0 + h) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 h) + lim h →0 h h

= limh →0

f ( x0 h) f ( x0 ) 令 h = x = f ′( x0 ) + lim ======== f ′( x0 ) + f ′( x0 ) = 2 f ′( x0 ), h →0 h∴ A = 2 f ′( x0 ).

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9 .如果f ( x)为偶函数，且f ′(0)存在，证明f ′(0) = 0.

证

f ( x) f ( x0 ) f ( x) f (0) f ( x) f (0) ′( x0 ) = lim (f ) f ′(0) = lim = lim x → x0 x →0 x →0 x x0 x 0 x 0f ( x) f (0) (令 x = y ) f ( y ) f (0) = f ′(0) = lim ========== lim x →0 x 0 y →0 y 0

∴ 2 f ′(0) = 0,

f

′(0) = 0.

1 例16 设f (t ) = lim t (1 + ) 2tx ,求f ′(t ). x →∞ x 1 x 2t 1 2tx 解 lim t (1 + ) = lim t[(1 + ) ] = t e 2t x →∞ x →∞ x x

f ′(t )= (t e 2t )′ = (2t + 1)e 2t .

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1 2 x sin , x ≠ 0; 例 15 求f(x) = x 0, x=0

一阶导数和二阶导数.

1 1 解 当x ≠ 0时, f ′( x) = 2 x sin cos , x x 1 2 1 1 1 f ′′( x ) = 2 sin cos 2 sin . x x x x x当x=0时,用导数定义先求一阶导数,再来看二阶导数.

f (0 + x) f (0) = lim f ( x ) f ′(0) = lim x → 0 x → 0 x x= lim由于

x 2 sin

x → 0

1 x = lim x sin 1 = 0; x → 0 x x

1 lim f ′( x) = lim( 2 x sin 1 cos 1 ) = lim cos x →0x →0

不存在(极限 故 处不连续(是振荡间断点 是振荡间断点),所以 不可导,即 不存在 极限),故f ′(x ) 在x=0 处不连续 是振荡间断点 所以 f ′(x ) 在x=0不可导 即 极限 不可导 f ′′(0) 不存在 不存在.

x

x

x→0

x

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1 g(x)cos , x ≠ 0, 例16 设 f(x) = x 0, x = 0.

且g(0) = g′(0) = 0 试问：

(1) lim f ( x);x →0

(2) f(x) 在x = 0处是否连续？

(3) f(x) 在x = 0处是否可导？若可导， f ′(0) = ?解 (1 lim f ( x) = lim g ( x) cos ) 1 =0 x →0 x →0 x 1 ( ∵ lim g(x) = g(0) = 0; cos 为有界函数) x →0 xx →0

(2) ∵ lim f ( x) = 0 = f (0)

∵ f(x)在x = 0 处连续.

1 1 g ( x ) cos 0 g ( x) cos x x =0 lim (3) f ′(0) = lim x →0 x →0 x 0 x

1 g ( x ) g ( 0) g ( x) ( ∵ g′ (0) = lim = lim = 0, cos 有界) x →0 x →0 x 0 x x