《高等数学》(北大第二版 )第02章习题课

《高等数学》(北大第二版 )课件

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一、学习本章的主要要求是： 学习本章的主要要求是： (1)掌握导数、微分(及高阶导数)的定义，它们的联系与区别及几何意义，会用定义求导数、微分及高阶导数. (2) 熟练地掌握计算导数与导函数、微分及高阶导数的各种方 法，并善于运用相应公式、法则和方法熟练地进行计算； (3)会用微分进行近似计算并估计误差. 二、综合例题 f ( x) 处连续， 存在，证明f(x)在x=0处可导 处可导. 例 1 设f(x)在x=0处连续，且 lim 在 处连续 存在，证明 在 处可导 x →0f ( x ) f (0) lim x →0 x 0

x 存在，故只要证f(0)=0. 分析 需证 证 设 lim f ( x) = A, 则 lim f ( x) = lim x f ( x) = 0 A = 0, x →0 x →0 x →0 x x 因为f(x)在x=0处连续，所以 f (0) = lim f ( x) = 0. x→0 f ( x ) f ( 0) f ( x) f ′(0) = lim = lim = A 存在，即f(x)在x=0处可导. 故 x →0 x→0 x 0 x

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例 2 设f(u)的一阶导数存在，求 1 r r lim [ f (t + ) f (t )] r →0 r a r a r f (t + ) f (t ) + f (t ) f (t ) a a 解 原式 = lim r →0 r r r [ f (t + ) f (t )] [ f (t ) f (t )] 1 1 a a 令r =h = lim + lim r r r r a →0 a →0 a a a a a1 f (t + h) f (t ) 1 f (t ) f (t h) = lim + lim h →0 a h a h →0 h 1 f (t + h) f (t ) 1 f (t h) f (t ) = lim + lim h →0 a h a h →0 h

h = x

1 1 2 = f ′(t ) + f ′(t ) = f ′(t ) a a a

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例 3 已知 y = xln(x + 1 + x 2 ) 1 + x 2解 ′( ′ y′ = xln(x + 1 + x 2 )) 1 + x 2) (

求y′.

x 1+ x2 = ln(1 + 1 + x ) + x. x + 1+ x2 1+ x22

1+

x

= ln( 1 + 1 + x ) +2

x 1+ x2

x 1+ x2

= ln( 1 + 1 + x 2 )

例 4 求y = 解

x x x 的导数 .

y= x

1 1 1 + + 2 4 8

= x , 所以2

7 8

7 8 7 ′= x = y . 8 8 8 x

1

练习 : y = ln

1 1+ x

, 求 y ′.

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例5

设y =

a

1 x 3

x log b1

4

arctan x 2 ( a > 0 , b > 0 ), 求 y ′.

1 1 1 x ∵ ln y = ln a + ln log b x + ln arctan x 2 , 解 2 6 24 1 1 1 ln y = ln a + (ln ln x ln ln b ) + ln arctan x 2 , 2x 6 24 对上式两边求导,得 ln a 1 x ′ = y[ y + + ] 2 4 2 2x 6 x ln x 12 (1 + x ) arctan x

1 = 2

a

1 x 3

x log b

4

arctan x 2

x 1 ln a [ 2 + ]. 4 2 x 3 x ln x 6 (1 + x ) arctan x

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例 6 设 y = y ( x) 由方程 e xy + tg ( xy ) = y 确定，求 y′(0)解 由方程知当 x = 0 时 y = 1.对方程两变求导：

1 e ( y + xy ′) + ( y + xy ′) = y ′ 2 cos ( xy ) 1 0 1 e (1 + 0 y′(0)) + (1 + 0 y ′(0)) = y ′(0) 2 cos (0)xy

故 y ′(0) = 2

例 7 已知 xy = e x + y 求 y′′解 将方程两边对 x求导，得

y + xy′ = e x + y (1 + y′)

(A)

y + xy′ = e x + y + y′e x + y再将(B)两边对x求导,得

(B)

y - ex+y y′ = x + y e x

(C)

y′ + y′ + xy′′ = e x + y (1 + y′) + y′′e x + y + y′e x + y (1 + y′)

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e x + y (1 + y′) 2 2 y′ y′′ = x e x+ y

y - ex+y 其中 y′ = x + y e x

.

x = ln(1 + t

2 ), 例 7 已知 求y′, y′′, y′′′. y = t arctan t. 1 1 (t - arctant)′ 1+ t2 = t , 解 y′ = = 2 2t 2 (ln(1 + t )′ 1+ t2 t ( )′ 1+ t 2 2 y′′ = = , 2 ′ (ln(1 + t )) 4t

1+ t 2 ( )′ t 4 1 4t y′′′ = = 3 . (ln(1 + t 2 ))′ 8t

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例 8 设y = f 2 ( x) + f ( x 2 ), 其中f ( x)具有二阶导数, 求y′′. 解

y′ = 2 f ( x) f ′( x) + f ′( x 2 )2 x. y′′ = 2[ f ′( x)]2 + 2 f ( x) f ′′( x) + 2 f ′( x 2 ) + 2 xf ′′( x 2 ) 2 x = 2[ f ′( x)]2 + 2 f ( x) f ′′( x) + 2 f ′( x 2 ) + 4 x 2 f ′′( x 2 ).

例 9 求下列函数的n 阶导数 y ( n ) ( n > 3). x4 1 (1) y = ; (2) y = 2 . 2 1 x x a

x4 1+1 1 y= = ( x 3 + x 2 + x + 1) 1 x 1 x n! (n) . 当n > 3时, y = n +1 (1 x) 1 ( 2) y = 2 (练习). 2 x a解 (1)

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例 10 求由方程

先求微分，易得导数] 解 [先求微分，易得导数 将方程两边同时取微分，因为

y ln x + y = arctan 所确定的隐函数的导数和微分. x2 22 2

d ln x + y ==

1 x +y2 2

d x + y =2 2

1 x +y2 2

d (x2 + y2 ) 2 x2 + y2

1 x2 + y2

2 xdx + 2 ydy 2 x2 + y2

=

而

xdx + ydy , 2 2 x +y

y 1 xdy ydx xdy ydx d arctan = = 2 x 1 + ( y )2 x2 x + y2 x

∴

xdx + ydy xdy ydx = 2 2 2 x +y x + y2

∴

x+ y dy = dx, x y

∴

dy x + y y′ = = . dx x y

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a x b a x b 例 11 设 f(x) 可导 , 求 y = f (sin x ) + ( ) ( ) ( ) .的导数 , b x a a 其中, a > 0, b > 0, ≠ 1, x ≠ 0. b a x b a x b 2 解 记 y1 = f (sin x ) , y2 = ( ) ( ) ( ) , b x a ′ 则 y1 = f ′(sin 2 x ) 2 sin x cos x = sin 2 x f (sin 2 x ).2

ln y 2 = x (ln a ln b ) + a (ln b ln x ) + b (ln x ln a ),

a x b a x b a b a a b ′ ). ∴ y 2 = y 2 [(ln a ln b ) + ] = ( ) ( ) ( ) (ln + b x a b x x x 例 12 设 y = (ln x ) x x ln x , 求 y ′. ln y = x ln(ln x ) + (ln x ) 2 , 解 两边取对数, 两边关于x求导 1 y ′ = ln(ln x ) + 1 + 2 ln x , y ln x x 1 2 ln x x ln x y ′ = (ln x ) x [ln(ln x ) + ∴ + ]. ln x x

练习：设 ( cosx) y = (sin y ) x

求 y′

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例 13 解

dy 已知 y = a + x , a > 0为常数, (a ≠ 1), 求 . dx arctan x 2 sin x 设 y1 = a , y2 = x .arctan x 2 sin x

)′ = ln a a (arctan x 2 )′ 1 arctan x 2 2 ′ = ln a a arctan x 2 2 x . = ln a a (x ) 4 1+ x 1+ x4 对 y2 = x sin x两边取对数，得 ln y2 = sin x ln x 1 sin x ′ y2 = cos x ln x + , 两边对x求导，得 x y2 sin x sin x ′ y2 = x (cos x ln x + ). xarctan x 2arctan x 2

′ y1 = (a

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2 - x, 1 < x < +∞, 2 例 13 设 f(x) = x , 0 ≤ x ≤ 1, x 3 , - ∞ < x < 0. 解 第一步，在各开区间内 分别求导： 1, 1 < x < +∞; f ′( x) = 2x, 0 < x < 1, 3x 2 , - ∞ < x …… 此处隐藏：4337字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……