2010年高三数学计算试题分类汇编——圆锥曲线

2010年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线

（2010上海文数）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

x2y2

已知椭圆 的方程为2 2 1(a b 0)，A(0,b)、B(0, b)和Q(a,0)为 的三个顶点.

ab 1

（1）若点M满足AM (AQ AB)，求点M的坐标；

2

（2）设直线l1:y k1x p交椭圆 于C、D两点，交直线l2:y k2x于点E.若

b2

k1 k2 2，证明：E为CD的中点；

a

（3）设点P在椭圆 内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆 的

两个交点P1 PP2 PQPP1 PP2 PQ？令a 10，b 5，点P的坐标是1、P2满足PP （-8，-1），若椭圆 上的点P1 PP2 PQ，求点P1、P2满足PP1、P2的坐标.

ab解析：(1) M(, )；

22

y k1x p

(2) 由方程组 x2y2，消y得方程(a2k12 b2)x2 2a2k1px a2(p2 b2) 0，

2 2 1

b a

因为直线l1:y k1x p交椭圆 于C、D两点， 所以 >0，即a2k12 b2 p2 0，

设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， x1 x2a2k1p 22 x0 2ak1 b2

则 ， 2

bp y kx p

10 0a2k12 b2

y k1x p

由方程组 ，消y得方程(k2 k1)x p，

y kx 2

a2k1pp

22 x0 x 22

k kak bb 211

又因为k2 2，所以 ， 2

ak1

y kx bp y

20222 ak b 1

故E为CD的中点；

(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2， b2由PP，从而得直线l的1 PP2 PQ知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率k1 2

ak2方程．

b2111

F(1, )，直线OF的斜率k2 ，直线l的斜率k1 2 ，

ak2222

1

y x 1 22

解方程组 2，消y：x 2x 48 0，解得P1( 6, 4)、P2(8,3)． 2

xy 1 10025

（2010湖南文数）19.（本小题满分13分）

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。 （I） （II）

求考察区域边界曲线的方程：

如图4所示，设线段PP，当冰川融化12 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界）时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？

m2

（2010浙江理数）(21) （本题满分15分）已知m＞1，直线l:x my 0，椭圆

2x2

C:2 y2 1，F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点.

m

（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A,B两点，VAF1F2，VBF1F2的重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数

m的取值范围.

解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

m2m2

0经过F20)，

（Ⅰ）解：因为直线l:x my ,得

22

m2 2，

又因为m

1，所以m

0。 故直线l

的方程为x 2

（Ⅱ）解：设A(x1,y1),B(x2,y2)。

m2x my 2

由 2，消去x得

x y2 1 m2

m22y my 1 0

4

2

m2

则由 m 8( 1) m2 8 0，知m2 8，

4

2

mm21

且有y1 y2 ,y1 y2 。

282

由于F1( c,0),F2(c,0),， 故O为F1F2的中点，

由AG 2GO,BH 2HO，

可知G(

2

x1y1xy,),h(2,1), 3333

(x1 x2)2(y1 y2)2

GH

99

设M是GH的中点，则M(由题意可知2MO GH,

x1 x2y1 y2

,)， 66

x1 x22y1 y22(x1 x2)2(y1 y2)2

) ()] 即4[( 6699

即x1x2 y1y2 0

m2m2

)(my2 ) y1y2 而x1x2 y1y2 (my1 22

m21

(m 1( )

82

2

m21所以 0

82

即m 4

又因为m 1且 0 所以1 m 2。

所以m的取值范围是(1,2)。

（2010全国卷2理数）（21）（本小题满分12分）

2

x2y2

己知斜率为1的直线l与双曲线C：2 2 1 a＞0，b＞0 相交于B、D两点，且BD

ab

的中点为M 1,3 ． （Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，DFBF 17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础

知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】

-6-

【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.

（2010陕西文数）20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设n 为过原点的直线，l是与n垂直相交与点P，与椭圆相交于A,B两点的直

线

立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由。

（2010辽宁文数）（20）（本小题满分12分）

x2y2

设F1，F2分别为椭圆C:2 2 1(a b 0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C

ab

相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l

的距离为（Ⅰ）求椭圆C的焦距；

（Ⅱ）如果AF2 2F2B,求椭圆C的方程.

解：（Ⅰ）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l

故c 2. 所以椭圆C的焦距为4.

（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1 0,y2 0,直线l

的方程为y x 2).

y x 2),

得(3a2 b2)y2 2y 3b4 0. 联立 x2y2

2 2 1

b a

2(2 2a)2(2 2a)

,y2 . 解得y1 2222

3a b3a b

因为AF2 2F2B,所以 y1 2y2.

2(2 2a)2(2 2a)

2 . 即2222

3a b3a b

得a 3.而a b 4,所以b

2

2

x2y2

1. 故椭圆C的方程为95

（2010辽宁理数）(20)（本小题满分12分）

x2y2

设椭圆C：2 2 1(a b 0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B

ab

两点，直线l的倾斜角为60,AF 2FB.

o

(I) (II) 解：

求椭圆C的离心率； 如果|AB|=

15

，求椭圆C的方程. 4

设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意知y1＜0，y2＞0. （Ⅰ）直线l的方程为

y

(x

c)，其中c

y x c),

22224

联立 x2y2得(3a b)y cy 3b 0

2 2 1

b

a

y2 解得y1

因为AF 2FB，所以 y1 2y2.

即

2得离心率 e

c2

. ……6分

a3

215

2 . （Ⅱ）因为AB 2

y12

43a b

由

515c2

a.所以a ，得a=3

，b .

得b 344a3

x2y2