复变函数与积分变换第五版习题解答(2)

? 2222)(y x y y y x y u y +='++=? c y x y x u ++=∴)ln(21),(22 即x y iarctg c y x z f +++=)ln(21)(22

2．设

y e v px sin =，求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数iv u z f +=)(。 解：要使),(y x v 为调和函数，有：0=+=?yy xx v v v ，即：

0sin sin 2=-y e y e p px px 1±=∴p 时，v 为调和函数，要使)(z f 解析，则x y y x v u v u -==, )(cos 1cos ),(y y e p ydx e dy v dx u y x u px px y x ?+=

===???

y pe y y e p u px px y sin )(sin 1-='+=? y e p p y px sin )1()(-='∴? c y e p p y px +-=∴cos )1()(?

10 即：c y pe y x u px +=cos ),(

?????-=+-=++=+=++=∴--1)sin (cos 1)sin (cos )(p c e c y i y e p c e c y i y e z f z x z x 3．如果iv u z f +=)(为解析函数，试证u -是v 的共轭调和函数。

证：因)(z f 解析，有：x y y x v u v u v u -===?=?,,0,0

所以，v u ,均为调和函数， 且u -亦为调和函数

????????-?==?-?=-=x u u v y u u v x y y x )

()(

故u -是v 的共轭调和函数

4．如果iv u z f +=)(是一解函数，试证：)(z f i 也是解析函数。

证：因)(z f 解析，则x y y x v u v u -==, 且v u ,均可微，从而u -也可微。

而 )()(u i v iu v z f i -+=-= 可知：y u u v y x ?-?=

-=)(

x u u v x y ?-?=-=)

( 即满足R C -条件 )(z if ∴也是解析函数。

5．试解方程：

（1）

i e z 31+= 解：z

k e e i e k i n k i z ∈==+=+=+++)32(21)23(2)3sin 3(cos

231πππππ

π z k k i z ∈++=∴)32(2ln ππ

（2）0cos sin =+z z

解：由题设可知：i e

z i -=2

11 z k k z ∈-=∴,4π

π

6．求下列各式的值：

（1）)43(i Ln +-

解：)43(i Ln +-

)342(5ln )

43arg(5ln aratg k i i i -++=+-+=ππ

（2）i -33

解：i

Ln -33 )]3sin(ln )3[cos(ln 2727272733223ln )23(ln 33i e e e e k k i k i i iLn i

-==?=?=?=+-+---πππ

12 （3）i e

+2 解：i e +212??=i e e

)1sin 1(cos 2i e +=

*7.思考题

（1）为什么复变指数函数是周期函数，而实变指数函数没有周期？

答：由于实数是复数的特例，因此在把实变函数中的一些初等函数推广到复变数情形时，要使定义的各种复变初等函数当z 取实数x 时与相应的实变初等函数有相同的值并保持某些性质不变，但不能保持所有的性质不变。

复变指数函数并不能保持实变指数函数的所有性质。如对复数z ，一般没有0>z e 。而

复变指数函数的周期性，仅当周期是复数（i k π2）时才显现出来。所谓实变指数函数x e 没有周期，是指其没有实的周期。

（2）实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同？

答：两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的，而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式。

最大的区别是，实变三角函数中，正弦函数与余弦函数都是有界函数，但在复变三角函数中，1sin ≤z 与1cos ≤z 不再成立。因为

y

y iz

iz iz

iz iz iz e e e e e e e e z -=-≥-=-=----212

12

12sin

当+∞→y 时，

+∞→→-y y e e ,0。故.sin +∞→z （3）怎样理解实变对数函数与复变对数函数的异同？并理解复变对数函数的运算性质。 答：因为我们把对数函数定义为指数函数的反函数。所以由复变指数函数的多值性推出复变对数函数也是多值函数，.ln iArgz z Lnz +=

Lnz 的主值即z i z z arg ln ln +=，是单值函数，当x z =，而0>x 时，z ln 就与高等数学中的x ln 值一致了。

在复变对数函数的运算性质中，注意到等式

,ln ln )/ln(ln ln )ln(21212121z z z z z z z z -=+=与

要对其含义理解清楚。在实变对数函数中它们的意义是明了的，但在复变指数函数中，例如，

13

).()(212121z z iArg z z Ln z z Ln += ,

ln ln ,ln ln 222111iArgz z z iArgz z z +=+= 而

2121ln ln ln z z z z +=， 2121)(Argz Argz z z Arg +=

应理解为：任意给定等式两端两个多值函数一对可能取的值，左端多值函数也必有一个值使等式成立。反过来也一样。也就是理解为等式两端可能取的函数值从全体上讲是相同的（即不能只考虑某一单值支）。后一式也同样理解，但对等式

)(n z Ln nLnz =和,1Lnz n z Ln n =

它两端所能取的值从全体上看还是不一致的。如对n Lnz nLnz =，取2=n 时，设?i re z =，

得 ,2,1,0).42(ln 22±±=++=k k i r Lnz πθ而从θ222i e r z =，得

,2,1,0),22(ln )(22±±=++=m m i r z Ln πθ 两者的实部是相同的，但虚部的可取值不完全相同。

（4）调和函数与解析函数有什么关系？

答：如果iv u z f +=)(是区域D 内的解析函数，则它的实部u 和虚部v 的二阶偏导数必连续，从而满足拉普拉斯方程，所以是调和函数。

由于解析函数的导函数仍是解析函数，所以它的实部和虚部的任意阶偏导数都是)(z f 的相应阶导数的实部和虚部，所以它们的任意阶偏导数都存在且连续。故可以推出：u 、v 的任意阶偏导数仍是调和函数。

（5）若v 是u 的共轭调和函数，可以说u 是v 的共轭调和函数吗？

答：不行，两者的地位不能颠倒。因为，若v 是u 的共轭调和函数，则应有

;,y u x v y v x u ??-=????=??而u 是v 的共轭调和函数，要求,,y v x u y u x v ??-=????=??两者一般不能同时成立，所能推知的是u -是v 的共轭调和函数。

练 习 五

1．计算积分

?++-i dz ix y x 102])[(，积分路径：自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i 。 解： ?++-i dz ix y x 102])[( 0 (1,i)

14 i dy i y i dx ix x dz ix y x dz ix y x 6521)1()()])[(])[(10

1

02)0,1()0,0(2)

0,1()

0,0(2+-=+-++=+-++-=????

2．计算积分dz z z c ?的值，其中C 为（1）;2=z （2）.4=z

解：令θi re z = 则 ri d rie r re dz z z i i r z πθθπθ220==??-=

当2=r 时，为i π4

当4=r 时，为i π8

3．求积分dz z e c z

?的值，其中C

2=z 1=z 所组成。

解：???==-=2z c z z z dz z e dz z e 022=-=i i ππ

4．计算dz z z c ?-21，其中C 解：dz z z c ?-21 ???===--=-=2221)1(1)1(1z z z dz z dz z dz z z

022=-=i i ππ

5．计算下列积分值：

（1）

?i zdz π0sin 解：?i zdz π0sin 0cos i z π-=i πcos 1-=

（2）?+i z dz ze 11

15 解：

?

+i

z

dz ze 11

i

i

z

z z ie i

e ze zde ++=+-==?1111

1)(

6．当积分路径是自i -沿虚轴到i ，利用积分性质证明：

?

-≤+i

i

dz iy x 2

)(22

证：

??--+≤+i

i i

i dz iy x dz iy x )()(222

2

2

2.12

=≤≤?-ds y i i

*7.思 …… 此处隐藏：3371字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……