复变函数与积分变换第五版习题解答

1 复变函数与积分变换第五版答案

目录

练 习 一 (1)

练 习 二 (3)

练 习 三 (5)

练 习 四 (8)

练 习 五 (13)

练 习 六 (16)

练 习 七 (18)

练 习 八 (21)

练 习 九 (24)

练 习 一

1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。

（1）i i i

i 524321----； 解：

i i i i 524321---- =i 2582516+ z

k k Argz z z z ∈+====π221arctan

25

5

8258

Im 2516

Re （2）3)231(i + 解： 3)231(i + z k k Argz z z z e i i ∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 333 2．将下列复数写成三角表示式。

1）i 31- 解：i 31-

2 )35sin 35(cos

2ππi +=

（2）i i +12

解：i i

+12 )4

sin 4(cos

21π

π

i i +=+=

3．利用复数的三角表示计算下列各式。

（1）i i

2332++- 解：i i 2332++- 2sin

2

cos

π

π

i i +==

（2）4

22i +-

解：4

22i +-4

1

)]43sin 43(cos 22[ππi +=

3,2,1,0]

1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 283

8

3

=+++=+++=k k

i k k i k ππππππ

4．.设

321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位

圆z =1的一个正三角形的项点。

证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周

32z z ++=0

则,

321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又

,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量

2 211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π

，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π

，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶

点。

5．解方程013=+z

i i z i z i i z k k i k z z 232135sin 35cos 1

sin cos 2

3213sin 3cos 2,1,03

2sin 32cos 1:3213-=+=-=+=+=+==+++=?-=ππππππππππ解

6．试证：当1,1<=βα时，则11=--βαβα。 证：111==--=-?-=--αβααβαβαααβαβαβα

7．设θθ,0(cos 21≠=+-z z z 是Z 的辐角），求证.cos 2θn z z n n =+-

证：01cos 2cos 221=+?-?=+-z z z z θθ

则 θθsin cos i z ±=

当θθsin cos i z +=时 θθsin cos 1i z -=-

θθθθθn n i n i n z z n n cos 2)]sin()[cos()sin (cos =-+-++=+-

故 θn z z n n cos 2=+-

当θθsin cos i z -=时，同理可证。

*8 .思考题：

（1）复数为什么不能比较大小？

答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。

（2）是否任意复数都有辐角？

3 答：否，0=z 是模为零，辐角无定义的复数。

练 习 二

1．指出满足下列各式的点Z 的轨迹是什么曲线？

（1）4)arg(π=-i z 解：设iy x z += 则4)]1(arg[)arg(π=-+=-y i x i z ??

???-=>->∴10

10y x y x 则点Z 的轨迹为： （2）)

Re(b z a z -=-，其中b a ,为实数常数； 解：设iy x z += 则：)Re()(iy b x iy a x +-=+-

???≥--=+-∴0)()(222b x b x y a x 则：???????≥+--=-+-=b x b a x b a a b x b a y )2)((2)(22

22

若：b a = 则轨迹为： 0=y

若：b a > 则

b b a x >+≥2 轨迹：

)2)((22b a x b a y +--= 若：b a < 则,2b a x +≤无意义

（3）0=+++b z a z a z z ，其中为a 复数b 为实常数。 解：由题设可知：

))((2=-+++a b a z a z 即：

b a a z -=+22

4 若：b a =2

，则Z 的轨迹为一点-a ，

若：b

a >2

，则Z 的轨迹为圆，圆心在-a

若：

b

a <2

，无意义

2．用复参数方程表示曲线，连接i +1与i 41--解：10)]1()41[()1(≤≤+---=+-t t i i i

z

则)0()52()1(≤≤+-+=t t

i i z

3．描出下列不等式所确定和区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向。

（1）21Re ,1≤

<z z

解：由

1

<z ，得

122<+y x 又

21Re ≤

z ，得21≤x

有界，单连域

（2）1Re 2

<z

解：令 iy x z +=

由

11Re 2

22<-?<y x z 即：

12

2->x y 无界，单连域

5 解：令iy x z +=

则ix y iy x i iz z f w +-=+===)()(

,0Im >z 则0>y

,0Re <-=y w

w ∴的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴 5.试证z z

z Re lim

0→不存在。 证：z z z Re lim 0→=iy x x

y x +→→00lim

令kx y = 则：上述极限为ki +11

不确定，因而极限不存在。

练 习 三

1．用导数定义，求z z z f Re )(=的导数。

解：z z z z z z z z z f z z f z z ?-?+?+=?-?+→?→?Re )Re()(lim )()(lim 00

)(Re lim )Re (Re lim )Re Re (Re lim Re Re Re lim 00000y i x x z z z z z z z z z z z z z z z z z y x z z z ?+???+=??+=??+?+=???+?+?=→?→?→?→?→?

当0≠z 时，导数不存在，

6 当0=z 时，导数为0。

2．下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？

（1）z z f 1)(= 解：),(),(1)(2222y x iv y x u y x y i iy x x z z z z f +=+++===

2

22222222

2222222)()(2)(2)(y x y x v y x xy v y x xy

u y x x y u y x y x +-=+-=+-=+-= 当且仅当y x =时， )(z f 满足R C -条件，故当y x =时)(z f 可导，但在复平面不解析。

（2）

)3(3)(3223y y x i xy x z f -+-= 解：令)(),()(xy iv y x u z f +=

则 2

22

2336633y x v xy

u xy v y x u y y x x -==-=-= 因)(z f 在复平面上处处满足R C -条件，且偏导数连续，故)(z f 可导且解析。

3．设)(2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定n m l ,,的值。

解：由R C -条件可知： lxy

nxy 22=所以 l n = 又 222233ly x nx my --=+所以 3,3-=-=n l m 且

即 ??

?-===31l n m

4.设)(z f 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的。

（1）)(z f =常数； （2）0)(='z f ； （3）=)(Re z f 常数

（2）=)(Im z f 常数； （5）)(z f 解析； （6）

=)(z f 常数。 证:由于)(z f 在且域D 内解析，则可得R C -方程成立，即

7 y v x u ??=??且x v y u ??-=??

1）→2）由c z f ≡)(则0)(='='c z f 在D 内成立，故（2）显然成立，

2）→3）由),(00)(y x u y u x u y u i y v x v i x u z f ?=??=???=??-??=??+??=

'是常数 即 =)(Re z f 常数

3）→4） ≡u 常数0= …… 此处隐藏：3562字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……