高中物理竞赛教程：1.4《光在球面上的反射与折射》(2)

u1v2r

这是第三次成像，由（1）、（2）两式可解得

1n3n 1

（4）

uv1r

再把（4）式和（3）式相加，可得

112(2n 1) （5） uv2r

在同一竖直平面内，这就要求 为使物点Q与像点Q2

u2 v1

代入（5）是可解得物距为

u

r

2n 1

说明 由本题可见，观察反射像，调整物距，使反射像与物同在同一竖直平面内，测出物距P，根据上式就可利用已知的透镜折射率n求出透镜球面的半径r，或反过来由已咋的球面半径r求出透镜的折射率n。

例2、显微镜物镜组中常配有如图1-4-12所示的透镜，它的表面是球面，左表面S1的球心为C1，半径为R1，右表面S2的球心为C2，半径为R2，透镜玻璃对于空气的折射率为n，两球心间的距离为

图1-4-12

C1C2

R2

。 n

在使用时，被观察的物位于C1处，试证明

1、从物射向此透镜的光线，经透镜折射后，所有出射光线均相交于一点Q。

2、

QC2 nR2。

解: 首先考虑S1面上的折射，由于物在球心处，全部入射光线无折射地通过S1面，所以对S2来说，物点就在C1处。

再考虑到S2面上的折射。设入射光线与主轴的夹角为θ，

入射点

为P，入射角为i，折射角为r，折射线的延长线与主轴的交点为Q如图1-4-13，则由折射定律知

sinr nsini 在 C1C2P中应用正弦定理得

C1C2C2P

sinisin

已知

R2/nR

2

sinisin

C1C2

R2n

由此得

图1-4-13

sin nsini sinr 所以 r

设CP与主轴的夹角为α，则有 i r i

显然，θ≠0时，r＜α，因此出射线与主轴相交之点Q必在透镜左方。

θ为 QC1P的外角

QPC1. r (r i) i 在 QC2P中应用正弦定理，得

QC2R2

sinrsin QC2 R2

sinr

nR2 sini

QC2 的数值与θ无关，由此可见，所有出射线的延长线都交于同一点，且此点与C2的距离为nR2。

例3、有一薄透镜如图1-4-14，S1面是旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转而成的曲面），其焦点为F1和F2；S2面是球面，其球心C与 F2重合。已知此透镜

图1-4-14

放在空气中时能使从无穷远处于椭球长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上，椭圆的偏心率为e。 (1)求此透镜材料的折射率n（要论证）；

(2)如果将此透镜置于折射率为n 的介质中，并能达到上述的同样的要求，椭圆应满足什么条件？

分析: 解此题的关键在于是正确地运用椭圆的几何性质及折射定律。

解: (1)根据题设，所有平行于旋转椭球长轴的入射光线经旋转椭球面和球面两次折射

后全部都能会聚于同一像点，可作出如下论证：如果经椭球面折射后射向球面的光线都射向球心C，即射向旋转椭球面的第二焦点F2，则可满足题设要求。光路图如图1-4-15所示：PA为入射线，AC为经椭球面折射后的折射线，BN为A点处椭球面的法线，i为入射角，r为折射角。根据椭圆的性质，法线BN平分 F1AF2 ，故AF1与法线的夹角也是r，由正弦定律可得

图1-4-15

F1AsiniF2Asini

n n ，F1BsinrF2Bsinr

从而可求得

F1A F2A2a1

n

F1A F2B2ce

2a为长轴的长度，2c为焦点间的距离；即只要n满足以上条件，任意入射角为i的平行于旋转椭球长轴的入射光线都能会聚于C（即F2）点。

（2）如果透镜置于折射率为n 的介质中，则要求

sinin1

sinrn e

n

e

n 即椭圆的偏心率e应满足

由于椭圆的e＜

1，如果

n n就无

图1-4-17

E

解。只要

n n，总可以找到

图1-4-16

一个椭球面能满足要求。

例4、（1）图1-4-16所示为一凹球面镜，球心为C，内盛透明液体。已知C至液面高度CE为40.0cm，主轴CO上有一物A，物离液面高度AE恰好为30.0cm时，物A的实像和物处于同一高度。实验时光圈直径很小，可以保证近轴光线成像。试求该透明液体的折射率n。

（2）体温计横截面如图1-4-17所示，已知细水银柱A离圆柱面顶点O的距离为2R，R为该圆柱面半径，C为圆柱面中心轴位置。玻璃的折射率n=3/2，E代表人眼，求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚像、正倒和放大倍数。

解: （1）主轴上物A发出的光线AB，经液体界面折射后沿BD方向入射球面镜时，只要BD延长线经过球心C，光线经球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性原理，折回的光线相交于A（图1-4-18）。

对空气、液体界面用折射定律有 sini n sinr n

图1-4-18

siniBE/AB

sinrBE/CB

当光圈足够小时，B→E，因此有

n

CE40.0

1.33AE30.0

（2）先考虑主轴上点物A发出的两条光线，其一沿主轴方向

图1-4-19

ACOE入射界面，

无偏折地出射，进

入人眼E。其二沿AP方向以入射角i斜入射界面P点，折射角为r。折射光线PQ要能进入人眼E，P点应非常靠近O点，或说入射角i

折

射角r应很小。若角度以弧度量度，在小角（近轴）近似下，折射定律nsini sinr可写为

。这两条光线反向延长，在主轴上相交于

，即为物A之虚像点（图1-4-19） 对

在小角（近轴）近似下：

，

上式可写为 解上式得

用正弦定律，得

为了分析成像倒立和放大情况，将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体AB，即然

是一对共轭点，只要选从B发出的任一条光线

垂轴线相交于

，

是点物B虚

经界面折射后，反向延长线与过像点，即

是物AB之正立虚像。

选从B点发出过圆柱面轴心C之光线BC。该光线对界面来说是正入射（入射角为零），

反向延长BC线交过从

放大率=

得

垂轴线于

，

图1-4-20

例5、有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿轴放置一细条形发光体（

离球心较近），其长度为L=0.020m。若人眼在主轴附近对着平面

部分向半球望去（如图1-4-20），可以看到条形发光体的两个不很亮的像（此处可能还有亮度更弱的像，不必考虑），当条形发光体

图1-4-21

图1-4-22

在主轴上前后移动时，这

两个像也在主轴上随之移动。现在调整条形发光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一起，此时条形发光体的近端的距离为

。

距球心O

试利用以上数据求出构成此半球的玻璃折射率n（计算时只考虑近轴光线）。

解: 1、条形发光体的两个像，一个是光线在平面部分反射而形成的，一个是光线经平面折射进入玻璃，在凹面镜上反射后，又经平面折射穿出玻璃而形成的。

2、求半球外任一个在轴上的光点A的上述两个像。平面反射像在

处，

（见图1-4-21）

凹面镜反射像D求法如下：

（1）A点发出的光经平面折射后进入玻璃，射向凹面镜，对凹面镜来说，相当于光线从B点射来（1-4-22）。令OB=b，则

（1）

（2）用凹面镜公式

（f为焦距）求凹面镜成的像C的位置。令

OC=C，则

代入上式

解出 …… 此处隐藏：1667字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……