高中物理竞赛教程：1.4《光在球面上的反射与折射》

§1.4、光在球面上的反射与折射

1.4.1、球面镜成像

（1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面

图1-4-1

图

1-4-2

的半径。一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点

F（图1-4-1），这F点称为凹镜的焦点。一束近主轴的平行光线经凸

面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F（图1-4-2），这

F点称为凸镜的虚焦点。焦点F到镜面顶点O之间的距离叫做球面镜

的焦距f。可以证明，球面镜焦距f等于球面半径R的一半，即

f

R

2

（2）球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。下面以凹镜为例来推导：（如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S，由S发出的射向凹镜的光线镜面A点反射后与主轴交于S 点，半径CA为反射的法线，S 即S的像。根据反射定律，

SAC S AC，则CA为SAS 角A的平分线，根据角平分线的性质有

ASCS

AS CS ①

由为SA为近轴光线，所以AS S O，AS SO，①式可改写为

OSCS

OS CS ②

②式中OS叫物距u，OS 叫像距v，设凹镜焦距为f，则

CS OS OC u 2f

CS OC OS 2f

代入①式

u

u 2f

2f

111 u化简 f

这个公式同样适用于凸镜。使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f取正，凸镜焦距f取负；实物u取正，虚物u取负；实像v为正，虚像v为负。

111 u f

上式是球面镜成像公式。它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。在成像中，像长 和物长h之比为成像放大率，用m表示，

m

h hu

由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。

表Ⅰ 凹镜成像情况

表Ⅱ 凸镜成像情况

（3）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球

面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。

如图1-4-4所示，半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1 、 O2 相距2.6R，现于主轴上

距凹镜顶点O1为0.6R处放一点光源S。设点光源的像只能直接射到凹镜上，问S经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在何处？

图1-4-4

OS在凹镜中成像，

u1 0.6R

，f1

1R 2

111 u 1 1f1

112

0.6R 1R

可解得 1 3R O1O2 2.6R,

根据题意：所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反

射，此时可将凹镜原来要成像S1作为凸镜的虚物来处理，

u2 (2.6R 3R) 0.4R，f2

111 u2 2f2

R 2

112 0.4R 2R

可解得 2 2R

说明凸镜所成的像S2和S在同一位置上。 1.4.2、球面折射成像 （1）球面折射成像公式 （a）单介质球面折射成像 如图1-4-5所示，如果球面左、右方的折射率分别为1和n，S 为S的像。因为i、r均很小，行以

sinii

nsinrr

图1-4-5

①

因为 i ，r 代入①式可有

r n( ) ②

对近轴光线来说，α、θ、β同样很小，所以有

xxx u，R，

代入②式可得

1nn 1 uR

当u 时的v是焦距f，所以

f

R nn 1

（b）双介质球面折射成像

如图1-4-6所示，球形折射面两侧的介质折射率分别n1和n2，C是球心，O是顶点，球面曲率半径为R，S是物点，

n1i1 n2i2

i1 ， i2 联立上式解得

n1n2n2 n1

uv

这是球面折射的成像

A0A0 A0

v uR，，，

S 是像点，对于近轴光线

公式，式中u、υ的符号同样遵循“实正虚负”的法则，对于R；则当球心C在出射光的一个侧，（凸面朝向入射光）时为正，当球心C在入射光的一侧（凹面朝向入射光）时为负。

图1-4-6

若引入焦点和焦距概念，则当入射光为平行于主轴的平行光（u=∝）时，出射光（或其反向延长线）的交点即为第二焦点，（也称像方焦点），此时像距即是第二焦距

f2

，有f2 。当出射光为平行光时，入射光（或其延长线）

n2 n1

nR

nR

的交点即第一焦点（即物方焦点），这时物距即为第一焦距f，有f ，

11n n

21

将f、f代入成像公式改写成

12

f1f

2 1u u

反射定律可以看成折射定律在n2 n1时的物倒，因此，球面镜的反射成像公式可以从球面镜折射成像公式中得到，由于反射光的行进方向逆转，像距υ

和球面半径R的正负规定应与折射时相反，在上述公式中令n2 n1，

112

，R R，即可得到球面镜反射成像公式u R，对于凹面镜

f1 f2

R 0，

RRf1 f2

2，厚透镜成像。 2，对于凸面镜R 0，

（C）厚透镜折射成像

设构成厚透镜材料的折射率为n，物方介质的折射率为n1，像方介质的折射

r率为n2，前后两边球面的曲率半径依次为1和r2，透镜的厚度为oo t，当物

点在主轴上的P点时，物距u OP，现在来计算像点P 的像距。S OP，首先考虑第一个球面AOB对入射光的折射，这时假定第二个球面AOB不存在，并认为球AOB右边，都为折射率等于n的介质充满，在这种情况下，P点的像将成在P 处，其像距 OP，然后再考虑光线在第二个球面的折射，对于这个球面来说，P 便是虚物。

因此对于球面AOB，物像公式为

A

图1-4-7

n2n1n n1

ur1 v

对于球面AOB，物像公式为

n2n2 nn vu tr2

这样就可以用二个球面的成像法来求得透镜成像的像距u。

（2）光焦度

折射成像右端仅与介质的折

射率及球面的曲率半径有关，因而对于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，我们定义此量为光焦度，用φ表示：

n n

r

它表征单折射球面对入射平行光束的屈折本领。φ的数值越大，平行光束折得越厉害；φ＞0时，屈折是会聚性的；φ＜0时，屈折是发散性的。φ=0时，对应于r ，即为平面折射。这时，沿轴平行光束经折射后仍是沿轴平行光束，不出现屈折现象。

光焦度的单位是[米-1]，或称[屈光度]，将其数值乘以100，就是通常所说的眼镜片的“度数”。

（3）镀银透镜与面镜的等效 有一薄平凸透镜，凸面曲率半径

R=30cm，已知在近轴光线时：若将此

透镜的平面镀银，其作用等于一个焦距是30cm的凹面镜；若将此透镜的凸面镀银，其作用也等同于一个凹面镜，其其等效焦距。

图1-4-9

当透镜的平面镀银时，其作用等同于焦距是30cm的凹面镜，即这时透镜等效面曲率半径为60cm的球面反射镜。由凹面镜的成像性质，当物点置于等效曲率中心 时任一近轴光线经凸面折射，再经平面反射后将沿原路返回，再经凸面折射后，光线过 点，物像重合。

n 1 如图1-4-8所示。i u i ，i ni ，

uhh

。依题意，，，

i u i 3060

故n 1.5。

凸面 …… 此处隐藏：2387字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……