实变函数第三章习题解答

第三章 作 业

1．证明：若E有界，则m E<+∞．

2．证明：可数点集的外测度为零．

3．证明：设E是直线上一有界集，m E>0，则对任意小于m E的正数c，恒有E的子集，使m E1=c．

4．证明：设S1,S2, ,Sn是一些互不相交的可测集合，Ei Si，i=1,2, ,n，求证 m(∪Ei)=∑m Ei．

i=1i=1nn

5．若m E=0，则E可测．

6．证明康托尔（Cantor）集合的测度为零．

7．设A,B Rq且m B<+∞．若A是可测集，证明

m (A∪B)=mA+m B m (A∩B)．

8．证明：若E可测，则对于任意ε>0，恒有开集G及闭集F，使F E G， 而m(G E)<ε,m(E F)<ε．

9．设E Rq，存在两列可测集{An},{Bn}，使得An E Bn且limm(Bn An)=0，则E可测． n→∞

10．设A,B Rq，证明成立不等式：m (A∪B)+m (A∩B)≤m A+m B．

11．设E Rn，若对任意的ε>0，存在闭集F E，使得m (E F)<ε，证明E是可测集．

12．证明：直线上所有可测集合作成的类μ的基数等于直线上的所有集合类的基数．