2013专转本高数第一章复习资料(同方)

第一章 极限、连续与间断

第一章 极限、连续与间断

本章主要知识点

求极限的几类主要题型及方法 连续性分析

（1 例1.1例1.23

x4

3 4

x

例1.3．lim

x

x 1 x 1x 1 x 1

- 1 -

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11 3

x 1 3x 1xx=

解：原式=lim=lim

x x 11x 1 x 1

xx

3

例1.4．lim(4x x 1 2x)

x

2

例1.5（2原式例1.6x3 x sin x

例1.7．lim

x 1x2 2x 1

解：原式=

x2 x

例1.8．lim2

x 1x 2x 3

1xx(x 1)

解：原式=lim=lim=

x 1x 3x 1(x 1)(x 3)4

- 2 -

第一章 极限、连续与间断

例1.9．lim

x 1x 1

x 1

u3 1(u 1)(u2 u 1)3

解：令u =lim2＝ lim

u 1u 1u 12(u 1)(u 1)

ax2 2x b

2 例1.10. lim2

x 1x 3x 2

解：a+2+b=0,

原式=

（3例例 例1 x1 1x1x3

解 因为 lim

x

x x

limx x 1

0，sin2006(sin(2006x))有界；

所以 原式＝０。

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1u

（4）题型IV lim(1 u) e

u 0

识别此类题型尤为重要，主要特征为1未定式．步骤如下：

lim(1 u) lim{(1 u)}uv elimuv

例1.14．lim(

x

v

1

u

x 23x 2

)

x 1

3

例 例（51 cosx~

2x 2

arcsinx~x arctanx~x

1 x 1~x

n

ln(1 x)~x

ex 1~x

替换原则：乘除可换，加减忌换。

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第一章 极限、连续与间断

sinx x

x 0x3x x

错解：lim3=0

x 0x

例1.17．lim例1.18．lim

x 0

ln(1 2x)sin(5x)

e

x22

1

解：原式=

lim

2x 5x

=-20

x 02

例例＝例1

ln(1 2x)

例1.22. lim(cosx)

x 0

2

解：原式=lim (1 cosx 1)

x 0

1cosx 1

(cosx 1)

1ln(1 2x)

e

1 x2limx 0 2x2

e

14

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x2

1 x例1.23. lim

x 2x 1

2

3x 4

arcsin

x2x(3x2 4)31 x解：原式=lim lim 2x 2x 1x (2x 1)(1 x)23x2 4

例

（6（7例解：limf(x) lim

x 0

1sinx1

f(0) a，故 a

x 0tan(sin2x)22

21ln(1 2x)axsin ,x 0

xsin2x

例1.26．f x b,x 0，若f(x)在x 0处连续，求a,b,c

2

1 x c()x，x 0 1 x

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第一章 极限、连续与间断

1ln(1 2x)

)

x 0 xsin2x

1ln(1 2x)2

1 alimxsin lim

x 0 xx 0 sin2x

解：f(0 0) lim(ax

2

1 x2

)x f(0 0) limc(1 x

x 0

f(x) ce

4

例

例解：ff 12．分类方法： （a）f(x0 0) f(x0 0)，x0为可去间断；

（b）f(x0 0) f(x0 0)，x0为第一类间断，或称跳跃型间断； （c）f(x0 0)、f(x0 0)至少有一个不存在，x0为第二类间断；

特别地，若左右极限中至少有一为 ，则为第二类无穷间断。

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例1.29．f(x)

x(x )

tanx

解：间断点为x k ，k

对于x k

2

，k Z,

2

， k Z,因为lim

x k

2

f(x) 0，所以x k

2

为可去间断。

x(x )

，x 0可去间断；

x

0 当例对于x k ，当k 0，即x 0，lim 例解： 例解： 定义域为 2 x 2，间断点为x 2,2

对于x 2，limf(x) ，x 2为第Ⅱ类无穷间断；

x 2 0

1

对于x 2， limf(x) lim2 xe2 x ，x 2为第Ⅱ类间断。

x 2 02x 2 0

注：对x 2,2仅考虑了其一个单侧极限。

1

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第一章 极限、连续与间断

x 1 sinx

例1.33．f(x) 1

1 ex 2

解：间断点是：

,x 0,,x 0, ,x 0.

x k ,k Z ,x 2，x=0是可能间断点。

(((( a,b

例由连续函数介值定理知，f(x) 0在 0,1 有实根，即命题得证。 例1.35．证明x 3x x 2至少有一正根 证明：令f(x) x 3x x 2，x 0,2

4

2

4

2

f(x)在 0,2 内连续，且f(0) 2,f(2) 4，f(0)f(2) 0

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由闭区间连续函数介值定理得，f(x)在 0,2 至少有一根，即命题得证。

五、数列极限

定理：对充分大的n成立，an bn cn，如果liman limcn A，

n

n

那么 limbn A。

12n

)

222例1.36． lim(

123。

4

5x2 ax b

2，则a _______，b ________6．lim2。

x 1x 3x 2

7．在下列极限中，正确的是（ ）

1x2 x

A．limxsin 0 B．lim2

x x 1x 3x 2xln(1 2x)x2 x

D．lim2 C．lim

x 1x 1x 3x 2x 1

8．若lim|f(x)| |A|那么（ ）

x a

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第一章 极限、连续与间断

A．limf(x) A B．limf(x) A

x a

x a

C．limf(x)| A| D．以上都不正确

x a

９．在下列极限中，不正确的是（ ）

A

．lim

2 x 2x 1 0 B．lim 0

x 03 xx

1

1x

10（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）x

2

2

x

（10）lim

x 0

ln 1 x2 2x4 sinx

ln 2 x ln2

2 1

3x

2

（11）lim

x 0

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（12）

x 0

3 1

xx

的间断点，并指明其类型。 sinx1 x2n

12．分析f x lim的间断点，并指明其类型。

n 1 x2n

11．分析函数f x 13

．分析

fx

tanx的间断点，并指明其类型。

14151617．18．

1、（2、（1 1 x

1n

3、（A. lim(1 tanx)

x 0

cotx

e B. limxsin

x 0

C. lim(1 cosx)

x 0

secx

e D. lim(1 n) e

n

4、(2003)在下列极限中，正确的是（ D ）

A. lim

sin2xarctanx

2 B. lim 1

x x xx

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第一章 极限、连续与间断

x2 4

D. limxx 1 C. lim

x 0 x 2x 2

5、（2003）lim(1 x)

x 0

1

21 cosx

6、（2003）已知

f(x)

x

sin(x 1)

，求其间断点并判断类型。

x 1

7、（2003）证明：xe 2在(0,1)内有且仅有一个实 …… 此处隐藏：2392字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……