求解一维对流扩散方程的一种新方法

第43卷第1期2010年2月武汉大学学报(工学版)

EngineeringJournalofWuhanUniversityVol.43No.1Feb.2010

文章编号:1671-8844(2010)01-0010-04

求解一维对流扩散方程的一种新方法

陈翠霞,张小峰

(武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,湖北武汉 430072)

摘要:针对常系数对流扩散方程,基于微分算子分裂算法思想,分别对对流步与扩散步运用待定系数法,以格式的

数值振荡和数值扩散最小为目标,得出各节点的权重系数,并在格式中引入无因次系数.用对流步进行计算,并将其结果作为已知值运用到扩散步的求解中,构造出一种新的一维对流扩散方程的数值求解格式.数值试验表明,相比其他已有格式,该格式可有效控制格式的数值振荡和数值扩散问题,易于编程,精度高,数值结果令人满意,较好地实现物质输移扩散的真实物理过程.

关键词:对流扩散方程;微分算子分裂算法;待定系数法;数值格式中图分类号:TV131 文献标志码:A

Anewsolutiontoone-dimensionalconvection-diffusionequation

CHENCuixia,ZHANGXiaofeng

(StateKeyLaboratoryofWaterResourcesandHydropowerEngineeringScience,

WuhanUniversity,Wuhan430072,China)

Abstract:Anewmethodisdevelopedwiththedifferentialoperatorsplittingalgorithmsandtheundeter-minedcoefficientmethodtosolveone-dimensionalconvection-diffusionequation,whichhasattractedatten-tionbecauseofitsimportance.Withthetargetofnumericaloscillationoftheleastnumericaloscillationandnumericalproliferation,themethodgetsweightindexofeachnodeandintroducesadimensionlessco-efficient.Calculatingbyconvectionandapplyingitsresultsasknownvaluetothesolutionofstep-prolifer-ation.Theresultsofnumericalexperimentsshowthatcomparedwithotherexistingschemes,theschemecancontrolthenumericaloscillationandproliferationmoreeffectivelyandhashigheraccuracy.Theschemeproposedcansimulatetherealphysicalprocessofmaterialtransportanddiffusion.Keywords:convection-diffusionequation;differentialoperatorsplittingalgorithms;undeterminedcoeff-icientmethod;numericalscheme

对流扩散方程一般用来描述温度场、浓度场或大气、海洋、江河及地下水中的污染物运输转移扩散过程,因其重要性而备受关注.解决此类问题,常借助于数值求解.目前常用的差分格式有交替方向特征有限元法、Crank-Nicolson格式

[1]

[2]

计算中取得了较好的效果,并通过该方法,对一

些早期经典格式进行了改进,构造出HUAC2格式,推广应用到一维对流扩散方程的数值模拟中,取得了较好的结果.

本文在以往格式计算的基础上,基于微分算子分裂算法,运用待定系数法,构造一种新的一维对流扩散方程数值求解格式,并用算例验证该格式的优越性.

[10]

和Lax-Wen-

droff格式[3].此外钟万勰等[4-5]应用子域精细积分方法对一些偏微分方程进行了数值求解;忻孝康等采用微分算子理论并运用欧拉-拉格朗日分裂格式对对流扩散型方程进行了求解;张小峰等

[7-9]

[6]

提

1 一维对流扩散方程求解

一维对流扩散基本方程为

出了一种构造高阶精度的待定系数法,在一维对流

收稿日期:2009-09-09

作者简介:陈翠霞(1987-),女,硕士研究生,主要从事河流动力学研究,E-mail:whu-wzmqccx@.基金项目:国家杰出青年科学基金项目(编号:50725930).

第1期陈翠霞,等:求解一维对流扩散方程的一种新方法

11

+k=E22

其中,E>0,是一个常数.

采用微分算子分裂法,令

L1uS+k=0

2L2

2uS-E=0

2(1)

a1-a34k3$t3$x/3+(a1+a3-4

a4-a6)$x4/24]+,

4

(7)

式(7)为式(6)模拟对流方程式(2)的等价微分

(2)(3)

方程.为使该格式的数值振荡和数值扩散同时达到最小,得到下面6个相互独立的代数方程:

a1+a2+a3=1-a1+a3+a4-a6=Cr

-a1-a2-a3+a4+a5+a6=0

Cr2+2a1-a3Cr+a1+a3-a4-a6=0Cr3-3a3-a1Cr2+3a1+a3Cr+ a1-a3-a4+a6=0

Cr4+4a1-a3Cr3+6a1+a3Cr2+ 4a1-a3Cr+a1+a3-a4-a6=m

(8)

式中:m为无因次参数.这是根据数值格式稳定性分析的Fourier谱分析理论得知的.当等价微分方程右边第一项为奇数阶导数项时,格式以数值色散特性为主;当为偶数阶导数项时,格式具有数值扩散特性

(5)

[11]

其中:L1u为求解对流步;L2u为求解扩散步.

通过对方程(2)和(3)的求解来实现方程(1)的求解.在对这两个简单方程求解时,时间步长涉及到(t,t

n

n+1

,t

n+2

)3个时间层,即利用方程(2)在(t,

n

tn+1)内求得un+1,然后再利用方程(3)在(tn+1,tn+2)内求得u

n+2

,最终求得结果.

1.1 对流步的待定系数法求解

利用Crank-Nicolson格式对方程(2)离散得

+1+1n+1nninin+1i-1ini+1i-1

+k+=0(4)2$x2$x

式中:$t为时间步长;$x为空间步长.

对式(4)进行变化得

+1n+1+1

-Cruni-1/4+ui+Cruni+1/4=

.上述推导过程,式(7)中方程的右边引入一个

Crui-1+ui/4-Crui+1/4

nnn

无因次参数m,用以增强格式的稳定性.

方程组(8)的唯一解为a1=Cr-1

12

Cr-+

4Cr(1+Cr)

式中:Cr=2k$t/$x.此格式对对流项的离散采用了代数平均,没有考虑各节点在格式中所起的不同作用.为了提高格式的精度,运用待定系数法对各节点赋予不同的权重系数,同时以格式的数值振荡和数值扩散为最小作为改进目标,最后定出这些待定权重系数的恰当值.

用待定系数ai(i=1,2,,,6)代替式(5)中的各系数:

+1n+1+1nnna1uni-1+a2ui+a3uni+1=a4ui-1+a5ui+a6ui+1

2a2=1-Cr+2-62Cr-(Cr+1)

a3=

Cr+12

Cr++

4Cr(Cr-1)

a4=Cr+12Cr+-4Cr(Cr-1)

(9)

(6)

对式(6)在(xi,tn)处作泰勒展开,得(a1+a2+a3)$t$x=+-a1+a3+a4-a6#

a5=1-Cr2+2+

62Cr-(Cr+1)a6=Cr-112

Cr-2-4Cr(1+Cr)

1.2 扩散步的待定系数法求解

同对流方程式的离散,用待定系数bii=1,2,,,6代替式(5)中的各系数得

+2n+2+2n+1n+1+1b1uni-1+b2ui+b3uni+1=b4ui-1+b5ui+b6uni+1

-a1-a2-a3+a4+a5+a6u-$x/2]+

5x

2

3

3

2

[2a1+a2+a3k2$t2+2a1-a3k$t$x+a1+a3-a4-a6

(10)

2

对式(10)在xi,tn+1处作泰勒展开,得b1+b2+b3$t+

=

-b1+b3+b4-b6$x2

[4a1+a2+a3k$t/3+2a1-a3k$t$x+

2

2

3

a1+a3k$t$x+

3

a1-a3-a4+a6

4

$x/6]-5x

4

-b1-b2-b3+b4+b5+b6u-

[2a1+a2+a3k$t/3+a1-a3k$t$x3/3+

a1+a3k2$t2$x2+

b1+b3-b4-b6$x2-25x[-b1+b3+b4-b6($x3/6)+

12

3

$x$tE]-3

武汉大学学报(工学版)第43卷

+2-b1+b3

a5a4

B1=

(11)

b2b1

C=

a6a5w

a6wa4

b3b2w

b3wb1

wb2b1

b3bwa5a5

a6a2

2b1+b2+b3E$t2+b1+b3$x3$tE++,

4

b1+b3-b4-b624

4

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