07-第7讲两个重要极限、极限存在准则

高等院校非数学类本科数学课程

高等数 学C—— 一元微积分学第六节 函数极限存在准则、 函数极限存在准则、 两个重要极限

极限存在准则、 第六节 极限存在准则、 两个重要极限 一.单调收敛准则 二.两边夹定理 三.两个重要极限 四. 函数极限与数列极限的关系

一.两边夹定理

y

看懂后, 用精确地语言描述它. 看懂后, 用精确地语言描述它.

y = h(x)

y = f (x)

y = a +ε

y=a y = a ε

y = g (x)

O

x0 δ

x0 x0 + δ

x

函数极限的夹逼定理定理 设 x ∈ U( x0 , δ ) ( | x | > X ) 时, 有

g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) .

若 lim g ( x) = lim h( x) = a , 则必有x → x0 ( x →∞ ) x→ x0 ( x →∞ )

x → x0 ( x →∞ )

lim f ( x) = a .

证

只证 x → x0 的情形 .

设 g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) x ∈ U( x0 , δ1 ) , 且x → x0

lim g ( x) = lim h( x) = a , 则 ε > 0 ,x → x0

δ 2 > 0, 当 0 < | x x0 | < δ 2 时, | h( x) a | < ε .即 a ε < h( x ) < a + ε . δ 3 > 0, 当 0 < | x x0 | < δ 3 时, | g ( x) a | < ε . 即 a ε < g ( x) < a + ε .

取 δ = min{δ1 , δ 2 , δ 3}, 则当 0 < | x x0 | < δ 时,a ε < g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) < a + ε , 即 lim f ( x) = a .x → x0

例1 解

2 . 求 lim x x →0 x 由取整函数的定义, 有 2 2 ≤ 2 , 1 < x x x

故当 x > 0 时,当 x 0 时 ,

2 ≤ 2; 2 x < x x 2 2 x > x ≥ 2, x

两边夹定理

2 = 2. 而 lim(2 x) = 2, 所以, lim x x →0 x →0 x

例. 证明 证: 利用夹逼准则 . 由

1 + 1 +L+ 1 < n n 2 2 2 n + π n + 2π n + n π n2 + π且

2

1 n = lim =1 lim 2 π n→∞1+ 2 n→∞ n + π n 1 + 1 +L+ 1 ∴ lim n 2 =1 2 2 n→∞ n + π n + 2 π n + n π

2

2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 )

n→∞

lim xn = a ( ≤ M )

a

n→∞

lim xn = b ( ≥ m )

b( 证明略 )

二.重要极限sin x 1. 重要极限 lim =1 x →0 x

1 + 1 = e 2. 重要极限 lim x →∞ x

x

sin x 1. 重要极限 lim =1 x→0 x首先看看在计算机上 进行的数值计算结果：

x →00.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 0.00000001

sin x x

→1

0.9983341664682815475018 0.9999833334166664533527 0.9999998333333416367097 0.9999999983333334174773 0.9999999999833332209320 0.9999999999998333555240 1.0000000000000000000000 1

sin x 然后看 y = 的图形 . x

y

1 π O

sin x y= x

2π

π

2π

x

证

运用两边夹定理, 关键在于建立不等式.

作一单位圆 , πy 设 ∠AOB = x , 先令 0 < x < 2 从图中可看出: AOB面 < 扇 AOB面 < DOB面 积 形 积 积

A

D

sin xx C B

tan x1

O

x

即

1 1 1 π sin x < x < tan x (0 < x < ) . 2 2 2 2

故当 0 < x < 时 , 2 sin x 即有 cos x < <1, x 由sin x 与cos x 的奇偶性可知

: sin x π <1 成 . 立 当 0 <| x |< 时, cos x < x 2 由 limcos x =1, lim1 =1 及 逼 理, 得 夹 定x→0 x→0

π

x 1 1< < sin x cos x

sin x lim =1 x→0 x

一般地

sin a (x) lim =a ( x)→0 (x)

其中, a ≠0 为常数. ( x) → 0 表示在某极限过程中 ( x)的极限为零.

例2

求

sin 5 x lim x→ 0 x

解

5 sin 5 x sin 5 x lim = lim x →0 x →0 5x xsin u = 5 lim = 5. u→ u →0 u (u = 5 x)

sin a ( x) 或直接用公式 lim = a ( a ≠ 0) : ( x ) →0 ( x)

sin 5 x lim = 5. x →0 x

例3

tan x 求 lim x →0 x

解

sin x 1 tan x lim = lim x →0 x →0 x cos x xsin x 1 = lim lim =1 x →0 x x → 0 cos x

例4 解

sin 3( x a ) 求 lim x→ a x a

x → a 时, (x) = x a → 0 , 故sin 3 ( x a ) lim = 3. x→ a x a

例5

1 cos x 求 lim x→ 0 x2

解

x 2 sin 1 cos x 2 = lim lim x→ 0 x→ 0 x2 x2 2 x 1 2 x sin sin 2 =1 2 2 = 1 lim = lim 2 2 x →0 x 2 x →0 x 2 2 2