三角形中的角度计算

来源：网络收集时间：2026-02-23

导读：三角形中的角度计算要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。 1、内角和定理在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180?/SPAN 2、外角定理三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、直角三角形的两锐角直角三角形的两个锐角之和等于90?

三角形中的角度计算

要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。

1、内角和定理

在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180?/SPAN>

2、外角定理

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

3、直角三角形的两锐角

直角三角形的两个锐角之和等于90?/SPAN>

4、等腰三角形的三角的关系

已知等腰三角形的顶角为n埃蛄降捉俏?/SPAN>

已知等腰三角形的一个底角为 (180埃?/SPAN>n?/SPAN>);

n埃蛄硪桓龅捉且彩?/SPAN>n?/SPAN>,顶角为180埃?/SPAN>2n?/SPAN>. 三角形中的角度计算主要分以下三种形式：

1、方程法，2、推理代换法，

3、特殊值法

1、方程法

例1、在△ABC中，AB=AC，CD平分∠C，∠ADC=150埃蟆?/SPAN>B

[分析] (1)所求的∠B在△DBC内，已知的∠ADC是△DBC的外角，所以有∠ADC=∠B+∠BCD。∠B是等腰△ABC的顶角，∠BCD是底角的一半，可以用∠B表示，所以可利用方程式求∠B。

(2)因为∠A是底角，∠ACD是底角的一半，

∠

ADC是已知角，所以可以先求出∠A。

解法1、设∠B=x，则∠ACB=(180埃?/SPAN>x),∠BCD=(180埃?/SPAN>x),由三角形的内角和定理，可得∠B+∠BCD=∠ADC，即

x+(180埃?/SPAN>x)=150?/SPAN>

所以x=140?/SPAN>

解法2、设∠A=x，则∠ACB=x,∠ACD=

埃?/SPAN>

所以 x+x+150?/SPAN>=180?/SPAN> x。因为∠A+∠ACD+∠ADC=180

解得x=20?/SPAN>,即∠A=20?/SPAN>

∴∠B=180埃?/SPAN>2×20?/SPAN>=140?/SPAN>

例2、在△ABC中，∠A：∠B=5：7，∠C比∠A大10埃蟆?/SPAN>C 解：设∠C=x,则∠A=x－10?/SPAN>,∠B=(x-10?/SPAN>),所以有

x+(x－10?/SPAN>)+(x－10?/SPAN>)=180?/SPAN>

解得x=60?/SPAN>,即∠C=60?/SPAN>

例3、D是△ABC的BC边上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC

[分析]因为AD=BD，AB=AC=CD，所以有∠B=∠BAD=∠C，

∠DAC=∠ADC，且∠BAC+∠B+∠C=180埃庋颐强梢陨琛?/SPAN>B=x,列出方程即可求。

解：设∠B=x，则∠C=∠BAD=∠B=x，∠ADC是△ABD的外角，所以

∠DAC=∠ADC=∠B+∠BAD=2x,∠BAC=∠BAD+∠DAC=3x,

∵∠B+∠BAC+∠C=180啊?/SPAN>x+3x+x=180?/SPAN>

解得x=36埃?/SPAN>

即 ∠BAC=3x=108?/SPAN> 例4、等腰三角形两内角的度数之比是1：

2，求顶角的度数。

[分析]等腰三角形的角可分为顶角和底角，所以本题可分为两个种情况来解，即顶角与底角之比为1：2，或底角与顶角之比为1:2.

解：（1）若三角形的顶角与底角之比为1：2，设三角形的顶角为x，则底角为2x,所以有

x+2x+2x=180?SPAN>,

解之可得x=36?/SPAN>

（2）若三角形的底角与顶角之比为1：2，设三角形的底角为x,则顶角2x，所以

x+x+2x=180?SPAN>,

解之可得x=45?/SPAN>

所以顶角为2x=90?/SPAN>

2、推理代换法

例5、如图：在△ABC中，点D在BC边上，且AC=BC，AB=AD=DC，求∠C 解：∵ AD=DC，

∴ ∠C=∠1，,∠2=∠C+∠1=2∠C

又 ∵ CA=CB，AB=AD，

∴∠A=∠B=∠2，且∠A+∠B+∠C=180?/SPAN>

∴2∠C+2∠C+∠C=180?/SPAN>

解得 ∠C=36?/SPAN>

例6、△ABC的两条高AD，CE相交于点M，已知∠A=30埃?/SPAN>C=75埃蟆?/SPAN>AMC

[分析]要求∠AMC，可先求出∠MAC和∠MCA

解：∵AD和CE是高，

∴∠DAC+∠ACD=90埃?/SPAN>

∠ACE+∠CAE=90啊?/SPAN>

∴∠DAC=90埃?/SPAN>ACD=15?/SPAN>

∠ACE=90埃?/SPAN>CAE=60?/SPAN>

∴∠AMC=180埃?/SPAN>(∠DAC+∠ACE)=105?/SPAN>

例、已知等腰三角形两腰上的高（或其延长线）相交所成的锐角是50埃笳飧鋈切蔚亩ソ堑亩仁?/SPAN>

解：如图一，设等腰△ABC的两腰上的高AD、BE相交于P，则

∠APE＝50埃?/SPAN> 从而有

∠EAP＝90埃?SPAN>APE

＝

40?/SPAN>。

由于AD⊥BC，所以

∠C＝90埃?SPAN>EAP＝50?/SPAN>。

如图二，设等腰△ABC的两腰上的高AD、BE的生长线相交于点P，则 ∠APE＝50埃?/SPAN>

从而有

∠EAP＝90埃?SPAN>APE＝40?/SPAN>。

由于AD⊥BC，所以

∠ACD＝90埃?SPAN>EAP＝50?/SPAN>。

所以

∠ACB＝180埃?SPAN>ACD＝130?/SPAN>

例、在△ABC中，

AB = AC，AB的中垂线

与AC所在直线相交所得的

数。

[分析]，当等腰三角形

的中垂线交AC上。顶角为钝

长线上。

解：如图一，AB的中垂线DE与AC交于点E，则

∠AED=50埃?/SPAN>

∵DE⊥AB

∴∠A=90埃?/SPAN>AED=40啊?/SPAN>

如图二、AB的中垂线DE与CA的延长线交于点E，则

∠AED=50埃?/SPAN>

∵DE⊥AB

∴∠EAD=90埃?/SPAN>AED=40?/SPAN>

∴∠BAC=180埃?/SPAN>EAD=140?/SPAN>

3、特殊值法

例：如图：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F六个角的和。

[分析]这六个角正好在三个不同的三角形里面，所以可以由这三个三角形的内角和求出，而多余的三个角正好组成一个三角形的三个内角，只要减去多余的角就可以了。

解：由内角和定理：

∠A＋∠B＋∠ANB＝180啊。?/SPAN>1）

∠C＋∠D＋∠CPD＝180啊。?/SPAN>2）

∠E＋∠F＋∠EMF＝180啊。?/SPAN>3）的顶角为锐角时，AB角时与AC交于CA的延锐角是50

埃蟆螧的

而

∠ANB＝∠MNP，∠CPD＝∠MPN，∠EMF＝∠PMN 且

∠MNP＋∠MPN＋∠PMN＝180啊。?/SPAN>4）所以（1）＋（2）＋（3）－（4）可得

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360?/SPAN>

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