第三章 离散小波变换与框架2(2)

2 2 f0 = (F F ) f = A+ B A+ B

∑<j∈ J

f , j > j

三、小波框架(本节定理证明

参见《小波十讲》) 小波框架 现在我们再回到利用离散小波系数重构原函数f(t)的问题 上来。 由框架理论可知，只要尺度和平移参数皆离散化的分析 小波(即式3-2) 构成L2(R)空间中的一个框架，则由 (式3-3)得到 的离散小波系数就可以完全稳定地重构f(t)。这时我们称 ψ j , k (t ) j , k∈Z 为由母小波 ψ (t ) 生成的小波框架。

{

}

为使 ψ j , k (t ) 构成L2(R)空间的一个框架，框架界为A和 B,母小波ψ (t ) 需满足以下必要条件和充分条件。 (1)必要条件

b0 ln a0 b0 ln a0 A ≤ ∫ ω ψ (ω) dω ≤ B 0 2π 2π 2 1 ∧ 0 b0 ln a0 b0 ln a0 A ≤ ∫ ω ψ (ω) dω ≤ B ∞ 2π 2π

+∞

1 ∧

2

(式3-32)

(2)充分条件 如果选择ψ (t ) 和a0,使：

1≤ ω ≤ a 0

inf

1≤ ω ≤ a 0 j = ∞

sup

∑

j = ∞ +∞ ∧

∑

+∞

ψ (a ω ) > 0j 02 j 0

∧

2

(式3-33)

ψ (a ω ) < ∞+∞ ∧ ∧

并且使：

β ( s) = sup ∑ ψ (a0jω ) ψ (a0jω ) + sωj = ∞

(ε > 0) 一样快地衰减， 那么存在 至少像 (1 + s ) ψ b*>0,使得对于所有 b 0 < b , j , k (t ) 构成一个框架， 这时，框架界为：

(1+ ε )

2π A= 1≤infa b0 |ω|≤ 0 2π B= sup b0 1≤|ω|≤a0

2π 2π ∑ ψ (a ω) m∈∑≠0 β ( b m)β ( b m) j = ∞ Z ,m 0 0 +∞ ∧ 2 1/ 2 j 0

2π 2π j ∑ ψ (a0 ω) + m∈∑≠0 β ( b m)β ( b m) j = ∞ Z ,m 0 0 +∞ ∧ 2 1/ 2

(式3-34) 上述关于小波框架对母小波的约束条件，在实际计算中往 往很简单。只要选择的母小波在时域和频域上都有适当的衰减， ψ j , k 构成小波 (t ) 那么一定存在a0和b0的某个取值范围，使 框架。事实上，只要：

ψ (ω) ≤ C ω (1+ ω ) γ ,α > 0, γ > α +1则充分条件的要求将得到满足。

∧

α

(式3-35)