第三章 离散小波变换与框架2

第三章 离散小波变换与框架连续小波变换中，CWT中的参数a和b都是连 续变化的值。实际应用中，信号f(t)是离散序列， a和b也须离散化，成为离散小波变换，记为DWT。 离散小波变换中的重要问题是是否存在逆变换。 讨论这个问题涉及框架理论。

一、离散小波变换 在二进小波变换的基础上，进一步将平移参数离散化，就 得到一个二维序列:

c j ,k = (Wψ f )(2 j , k 2 j ) =< f (t ),ψ 2 j ,k 2 j (t ) >此序列是离散小波系数，是连续小波系数的一个离散子集。 在一般情况下，尺度参数a和平移参数b的离散化可令：

a = a , b = kb 0 a , j ∈ Z , k ∈ Zj 0 j 0

(式3-1)

其中a0、b0为常数，则分析小波变为：

ψ

j ,k (t ) = a

j/2 0

ψ ( a t kb 0 ) j 0

(式3-2)

这样，连续小波变换就变为离散小波变换：

c j ,k = (Wψ f )(a , kb a ) =< f (t ),ψ j ,k (t ) >j 0 j 0 0

(式3-3)

其卷积型定义有：

cj,k =Wa j f (kb a ) = ( f (t) ha j (t))(kb a )0

j 0 0

0

j 0 0

即：

c j ,k

1 = j a0

∫

R

kb0a0j t f (t )h( )dt j a0 j/2

(式3-4)

对于二进小波，令a0=2,b0=1.则有：

ψ

j ,k (t ) = 2

ψ (2 t k ) j

(式3-5) (式3-6)

c j ,k = (Wψ f )(2 j , k 2 j ) =< f (t ),ψ j ,k (t ) >对于a0、b0的选取，依赖于小波母函数。

我们最为关切的问题： 1.能否由离散小波系数完全稳定地重构f(t)? 2.对于任意f(t) ∈L2(R),是否能表示为基函数ψj,k(t)的线性组 合？ 上述两个问题实质上是一个问题的两个方面，即能否用 离散小波系数将f(t)完全“特征化”。若用数学语言来描述， Tf (t 就是能否这样定义线性变换： ) = {< f (t ),ψ j ,k (t ) >} = {c j ,k }j ,k∈Z , 使得其正反变换连续。 首先.正变换是连续的，表明线性变换有界： 即：j∑Z < f (t ),ψ j ,k (t ) > ≤ B f (t ) ,k∈ 其次.由反变换是连续的，可得：Tf (t ) ≤ B f (t )22

2

2

2

(式3-7)

{ 以上两式表明，c j ,k }j ,k∈Z 将f(t)完全“特征化”意味着ψj,k(t)应满 足： < A f (t ) 2 ≤ < f (t ),ψ (t ) > 2 ≤ B f (t ) 2 < ∞ 0 ∑ j ,k (式3-9)j ,k∈Z

2 2 1 2 A T Tf (t ) ≤ Tf (t ) 即： f (t ) ≤ ∑ < f (t ),ψ j ,k (t ) > (式3-8) j , k∈Z A

1

由此便引出了L2(R) 空间的“框架”概念。

二、框架 1、框架定义 、 定义 3.1 设 { j }j∈J H ,若对于一切 0﹤A≤B﹤∞,使得：

f ∈H2

,存在常数 (式3-10)

Af

2

则称函数序列 j j∈J 为 H 空间的一个框架。B、A分别 称为此框架的上、下界.A=B时称为紧框架。

{ }

≤ ∑ < f , j > ≤ B f2 j∈J

若A=B=1,

∑ < f , > = A f 则 { } 为 H 的正交基，则有： 2 2 j∈J jj j∈ J

f =

∑<j∈ J

f , j > j

(式3-10)也称为稳定性条件。

), 例3-1:设 H =R2,e1=(0,1 e2=( 3/ 2, 1/ 2),e3=( 3/ 2,1/ 2) ,则对于H中 的任意向量 v = (

v1 , v 2 ) ,有：

∑ < v, ej =1

3

j

> = v2

2

2

3 1 3 1 3 + v1 v2 + v1 + v2 = [v12 + 2 ] 2 2 2 2 2 22

2

2

即：

∑

3

j =1

< v, e j >

=

3 v 2

2

表明 { e 1 , e 2 , e 3 }是R2空间的紧框架，但不是正交基，因为： e 1 + e 2 + e 3 = ( 0 , 0 ) 线性相关。 e

2、框架算子 、 为便于讨论框架，引入框架算子。 定义3.2:如果 { j }j∈ J 为H空间的一个框架，那么框架算子F定 定义 义为H空间向 l 2 ( J ) 空间的映射，即：

Ff ={< f , j >}j∈J , f ∈H, Ff∈l2(J)

(式3-11)

因为内积运算为线性运算，所以F为线性算子。由框架定义， 可知F为有界线性算子，并且有逆算子存在。 记F的伴随算子(共轭算子)为F*。则按伴随算子的定 义： F : l 2 ( J ) → H ,< F c, f >=< c, Ff >, c ∈ l 2 , f ∈ H ,则有：< F c, f >=< c, Ff >= ∑ c j < f , j >j∈J

= ∑ c j < j , f >=< ∑ c j j , f >j∈J j∈J

(式3-12) (式3-13)

F c =

∑

j∈ J

c j

j

由F的定义可得：Ff2

= ∑ < f , j > =< Ff , Ff >=< F Ff , f >2 j∈J

(式3-14)

(式3-10)可写成：

< Af , f >≤<F Ff , f >≤<Bf , f >令Id为H到H的单位算子，即： Idf=f,上式可写成：AI d ≤ F F ≤ BI d

(式3-15)

F*F为由H到H的有界线性算子，必有逆算子存在，记逆算子为 (F*F)-1它必满足：B 1 I d ≤ ( F F ) 1 ≤ A 1 I d

(式3-16)(F

因为： ( F F ) 1 ( F F ) f = f

F ) 1 ( F

F ) = Id

按伴随算子的定义，(F*F)应为自伴随算子，由此可得其逆算 子(F*F)-1也为自伴随算子.

< F Fg , f >=< Fg , Ff >=< g , F Ff > 证明：

3、对偶框架 、 (1)定义3.3:对于H空间中的一个框架 { j }j∈ J ,其算子为F,则 定义3 定义 定义： 1 ~ (式3-17) = (F F ) j , j∈J j , j∈J

称 {~ j }j∈ J 为 { j }j∈ J 的对偶框架(共扼框架)。

(2)对偶框架算子 定理3.1 设 { j }j∈ J 为H空间的一个上、下界为B和A的框架，其 定理 框架算子为F, {~ j }j∈ J 为其对偶框架,则 {~ j }j∈ J 也构成H空 ~ -1 -1 间的一个框架，其上、下界分别为A 和B ,其框架算子 F 满 足： ~ 1 (式3-18a) F = F (F F )

~ ~ F F = F F = Id ~ ~ FF = FF

~ ~ F F = (F F ) 1

(式3-18b) (式3-18c) (式3-18d)

证明： 令 f

∈ H , q ∈ H , 且 q = ( F * F ) 1 f , 则有：

~ ~ >=< f , ( F F ) 1 > ( Ff ) j =< f , j j(Fq) j = (F(F F) f ) j =< q, j >=<(F F) f , j > 1 1

~ 1 (Ff ) j = (F(F F) f ) j ~ 1 (式3-18a)得证。 F = F(F F) ~ 2 ~ ~ ~ > 2 =< Ff , Ff > 由内积定义： Ff = ∑ < f , j

由于 (F*F)-1是自伴随算子，以上两式相等，有：

=< F(F F) f , F(F F) f > 1 1

1

j∈J

1

(由伴随算子定义) 1

=<(F F) f , F F(F F) f >=<(F F) f , f >

利用式3-16,有：

B

1 < f , f , >≤<(F F) 1 f , f >≤ A 1 < f , f >将以上两式合并，有：

~ > 2 ≤ A 1 f B f ≤ ∑ < f , j 1 2

2

(式3-19)

{~ } 上式表明，j

j∈J

j∈ j∈ J

是H空间的一个框架。

~ ~ 记 F 的伴随算子为： F ,则由： ~ < Ff , g >=< F ( F F ) 1 f , g >=< ( F F ) 1 f , F g >=< f , ( F F ) 1 F g >可得： F

~

= ( F F ) 1 F

(式3 …… 此处隐藏：3333字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……