2012届高三二轮复习常考专题复习10-三角函数的图象与性质(2)

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1 sin x 1 cos x ∴ g ( x) = cos x + sin x cos x sin x = sin x + cos x 2 = 2 sin( x + ) 2 . 4 17π 5π π 5π < x+ ≤ ( 2)由 π < x ≤ ,得 . 12 4 4 3 5π 3π 3π 5π Q sin t在( , ]上为减函数 ， 在( , ]上为增函数 ， 4 2 2 3 5π 5π 又 sin < sin , 3 4 π

3π 5π 17π ∴ sin ≤ sin( x + ) < sin ( x ∈ (π , ]). 2 4 4 12 π 2 即 1 ≤ sin( x + ) < , 4 2

π

∴ 2 2 ≤ 2 sin( x +

π

4 故 g ( x )的值域为 [ 2 2, 3).

) 2 < 3 ,

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题型三

三角函数图象的对称性x ) 2 cos 2 x + 1 . 4 6 8

【例3】(2009·重庆)设函数f ( x) = sin( π (2009·重庆) 重庆 (1)求 (1)求f(x)的最小正周期; 的最小正周期;4 的最大值. 求当 x ∈ [0, ] 时，y=g(x)的最大值.

π

π

(2)若函数y (2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称, 若函数 的图象关于直线x=1对称, 对称 解=3 π π π π π (1) f ( x) = sin x cos cos x sin cos x 4 6 4 6 4

3 3 π π sin x cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

π

故f(x)的最小正周期为 T =

x ), 4 3

π

2π

π

= 8.

4

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(2)在 (2)在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于x=1的 的图象上任取一点( )),它关于x=1的 它关于 对称点为(2-x,g(x)). 对称点为( 由题设条件, (2由题设条件,点(2-x,g(x))在y=f(x)的图象上， ))在 的图象上， 从而g )=f(2从而g(x)=f(2-x)= 3 sin[ (2 x) ] 4 3 = 3 sin( x ) 2 4 3 x+ ). 4 3 π 2π 4 π π 当0 ≤ x ≤ 时, ≤ x + ≤ ,因此y = g ( x)在区间 3 3 4 3 3 4 π π 3 . [0, ]上的最大值为g ( x) max = g ( ) = 3 cos = 3 3 3 2 = 3 cos(

π

π

π

π

π

π

π

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【探究拓展】对于正弦函数 y = A sin(ωx + ) 或余弦函 探究拓展】 数 y = A cos(ωx + )来说，以下性质在解题中起着重 来说， 要的作用： 函数在其对称轴上取到最大(最小) 要的作用：①函数在其对称轴上取到最大(最小) 值，相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；②图 相邻两条对称轴之间的距离是半个周期； 象与x轴的交点是其对称中心， 象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心之间 的距离是半个周期. 的距离是半个周期.