2012届高三二轮复习常考专题复习10-三角函数的图象与性质

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学案10 学案10 三角函数的图象与性质

1.掌握三角函数的图象及其变换. 1.掌握三角函数的图象及其变换. 掌握三角函数的图象及其变换 2.灵活掌握三角函数的最值、单调性、奇偶性、 2.灵活掌握三角函数的最值、单调性、奇偶性、周期 灵活掌握三角函数的最值 性. 3.理解三角函数的图象的对称性(轴对称、 3.理解三角函数的图象的对称性(轴对称、中心对 理解三角函数的图象的对称性 称). 4.会求三角函数的单调区间， 4.会求三角函数的单调区间，并能利用单调性求三角 会求三角函数的单调区间 函数的最值. 函数的最值.

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1.(2009·安徽) 1.(2009·安徽)已知函数 f ( x) = 3 sin ωx + cos ωx 安徽 >0),y 的图象与直线y=2的两个相邻交点的距 ( ω >0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距 离等于π ,则f(x)的单调递增区间是5π ], k ∈ Z 12 12 5π 11π B.[kπ + , kπ + ], k ∈ Z 12 12 A.[kπ , kπ + , kπ + ], k ∈ Z 3 6 π 2π D.[kπ + , kπ + ], k ∈ Z 6 3 π 解析 f ( x) = 3 sin ωx + cos ωx = 2 sin(ωx + ) . 因为函 C.[kπ

(

)

π

π

π

6

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数y=f(x)的图象与y=2的两个相邻交点的距离为 π ,故 的图象与y=2的两个相邻交点的距离为 函数y 函数y=f(x)的周期为 π ,所以2π

所以f ( x) = 2 sin(2 x + ) .令2kπ ≤ 2 x + ≤ 2kπ + 得 6 2 6 2 2π π π π 2kπ ≤ 2 x ≤ 2kπ + ,即kπ ≤ x ≤ kπ + (k ∈ Z ) . 3 3 3 6

π

ω

= π , 即ω = 2 .

π

π

π

答案

C

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2.(2009·全国Ⅰ)如果函数y=3cos(2x )的图象关 2.(2009·全国Ⅰ)如果函数y=3cos(2x+ )的图象关 全国Ⅰ)如果函数 于点 ( 4π ,0)中心对称,那么 | | 的最小值为 中心对称, A.π63

(A )

B. π4

C.π3

D.π2 4π3 ,0)中心对称

解析

)的图象关于点 由y=3cos(2x+ )的图象关于点 ( =3cos(2x3 3 3

知, f ( 4π ) = 0,即3 cos( 8π + ) = 0 ,∴ 8π + = kπ + π (k ∈ Z ) ,8π ∴ = kπ + (k ∈ Z ) , 2 3

π

2

8π π | | 的最小值为 | |=| 2π + |= . 2 3 6

π

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3.(2009·四川)已知函数f )=sin(x 3.(2009·四川)已知函数f(x)=sin(x 四川 面结论错误的是 A.函数f A.函数f(x)的最小正周期为 2π 函数 π B.函数 函数f B.函数f(x)在区间[ 0 , ] 上是增函数 C.函数f 的图象关于直线x=0对称 C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 函数 D.函数f D.函数f(x)是奇函数 函数 解析2

π2

)(x∈R),下 )(x∈R),下 (D )

)=,∴T ,A正确 正确; ∵y=sin(x - π )=-cos x,∴T= 2π ,A正确; =sin(x 2 π 上是减函数，y=-cos x在 [ 0 , π ]上 y=cos x在 [ 0 , ] 上是减函数， 是增函数， 正确； 是增函数，B正确； 由图象知y 关于直线x=0对称 对称， 正确; 由图象知y=-cos x关于直线x=0对称，C正确;2 2

是偶函数， 错误. y=-cos x是偶函数，D错误.

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4.(2009·山东)将函数y 2x 4.(2009·山东)将函数y=sin 2x的图象

向左平移 山东 是π C.y=1+sin(2x C.y=1+sin(2x+ )

π4

个

单位，再向上平移1个单位， 单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式 (B ) B.y B.y=2cos2x D.y D.y=2sin2xπ

A.y 2x A.y=cos 2x

解析

将函数y 2x 个单位， 将函数y=sin 2x的图象向左平移 个单位，得 4 π π 到函数y 2(x ),即 =sin(2x 2x 到函数y=sin 2(x+ ),即y=sin(2x+ )=cos 2x的图4 2

4

象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为 再向上平移1个单位， 2x 故选B. y=1+cos 2x=2cos2x,故选B.

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题型一

三角函数图象及其变换

【例1】已知函数 f ( x) = 3 sin(ωx + ) cos(ωx + ) 为偶函数,且函数y (0 < < π , ω > 0) 为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相 邻对称轴间的距离为 π . π 的值； 2 (1)求f ( ) 的值； 8 π (2)将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将 将函数y 个单位后,6

得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4 得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐 标不变，得到函数y 标不变，得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减 的图象, 区间. 区间.

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解 (1) f ( x) = 3 sin(ωx + ) cos(ωx + ) 3 1 = 2[ sin(ωx + ) cos(ωx + )] 2 2 π = 2 sin(ωx + ) . 6 因为f 为偶函数， 因为f(x)为偶函数， 所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立， 所以对x∈R,f )=f 恒成立， π π 因此 sin( ωx + ) = sin(ωx + ) . 6 6 π π 即 sin ωx cos( ) + cos ωx sin( ) 6 6 π π = sin ωx cos( ) + cos ωx sin( ) , 6 6 π 整理得 sin ωx cos( ) = 0 . 6 π 0,且 ∈R, 因为 ω >0,且x∈R,所以 cos( ) = 0 .6

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又因为0 < < π , 故

π6

=

π2

.

所以f ( x) = 2 sin(ωx + ) = 2 cos ωx . 2 π 2π 由题意得 = 2 , 所以ω = 2 . ω 2

π

π (2)将 个单位后, (2)将f(x)的图象向右平移 个单位后,得到 f ( x )π6

故f ( x) = 2 cos 2 x .因此f ( ) = 2 cos = 2 . 8 4

π

π

6

的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 的图象, 纵坐标不变， 的图象. 4倍，纵坐标不变，得到 x π 的图象.f( ) 4 6 x π x π 所以g ( x) = f ( ) = 2 cos[2( )] 4 6 4 6 x π = 2 cos( ) . 2 3 x π 当2kπ ≤ ≤ 2kπ + π (k∈R) 2 3

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即4kπ +

2π 8π ∈Z)时 单调递减. ≤ x ≤ 4kπ + (k∈Z)时,g(x)单调递减. 3 3 2π 8π 因此g 因此g(x)的单调递减区间为 [4kπ + ,4kπ + ](k∈Z). 3 3

【探究拓展】在用图象变换作图时，提倡先平移后伸 探究拓展】在用图象变换作图时， 缩，但先伸缩后平移也经常出现在考题中,因此必须 但先伸缩后平移也经常出现在考题中 因此必须 熟练掌握，切记：无论怎样变换，都是对变量“ 熟练掌握，切记：无论怎样变换，都是对变量“x” 而言，即图象变换要看“变量”有多大变化 而不是 而言，即图象变换要看“变

量”有多大变化,而不是 “角”变化多少. 变化多少

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变式训练1 变式训练1 已知函数 f ( x) = 2 sin x cos x 2 3 sin 2 x + 3 . (1)求函数f 的最小正周期及最值； (1)求函数f(x)的最小正周期及最值； 求函数 π (2)令 )=f ),判断函数 判断函数g 的奇偶性, (2)令g(x)=f(x+ ),判断函数g(x)的奇偶性,并说明 理由. 理由.34 4 4

解 (1)Q f (x) = sin x + 3(1 2sin 2 x) ∴f(x)的最小正周期 T = 1 = 4π .2 x π 取得最小 …… 此处隐藏：3870字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……