习题课__广义积分_185402114(2)

2

6. f C[0,1],

f(x) a 0，求证

1

dxf(x)

1

1

。

f(x)dx

证明：1

1

f(x)

dxf(x)

1

dxf(x)

f(x)dx，

1

故

1

dxf(x)

1

1

1

f(x)dx

2

7. 设f(x)在 ,2 可微，且 1

2

f(x)x

2

1 1

dx 4f()，证明： ,2 ，使

2 2

f ( ) 2f( )

证明：F(x)

f(x)x

2

，F() 4f()

2

2

11

2

1

F(x)dx，

由中值定理， (1,2)，使F( )

2

1

F(x)dx，故

1

F() F( ) 2

Rolle定理可得

1

,2 ，使F ( ) 0，即 f ( ) 2f( )。 2

广义积分习题课

8. f R[0,a],f(x) 0,f(x)

x

f(t)dt，求f(x)。

解： f R[0,a]

x

f(t)dt C[0,a]

(1)

x

f(t)dt C[0,a] f(x) C[0,a]

f(x) C[0,a]

在上面的推理中，用到了f(x) 0,f(x)

x

f(t)dt条件。

f(x)

2

x

f(t)dt

12

f (x) f(x)

x2x2

C

由f(x)

x

f(t)dt，f(0) 0，故f(x)

f(1) 3,

。

9. 设f(x) C(0, ), x,y (0, )，

x

y

求f(x)。 解：F(x)

xy

1

f(t)dt y f(t)dt x f(t)dt

1

1

x

1

f(t)dt，则F (1) 3，

F(xy) yF(x) xF(y)

F(x(1 y)) F(x)

xy

y 0

yF(x) xF(y)

xy

F (x)

F(x)x

F(x)x

lim

F(1 y)

y

y 0

F(x)x

F (1)

F(x)x

3

解微分方程F (x) 3，初始条件为F(1) 0，

F(x) 3xlnx f(x) F (x) 3lnx 3

广义积分习题课

习题课 级数

1. 设级数

u

n 1

n

n

收敛，则必收敛的级数为 [ ]. [ D ]

2n

n

（A）

( 1)

n 1

n 1

unn

。（B）

u

n 1 n 1

。（C）

(u

n 1 n 1

u2n)。 （D）

(u

n 1

n

un 1)。

2. 已知 （ 1）un 2, u2n 1 5，则 un 1n,

n 1

3. 设0 an

则下列级数中肯定收敛的是 [ ]. [ D ]

(A)

n 1

an; (B)

n 1

( 1)an; (C)

n

n 1

an; (D)

n 1

anlnn

2

4. 设常数 0，an 0，级数 an收敛，则级数 ( 1)n(ntan

n 1

n 1

n

)a2n[ ].

（A）绝对收敛。（B）条件收敛。（C）发散。（D）收敛性与 有关。 [ A ]

5. 设正项级数

a

n 1

n

收敛, 则 [ ] [ D ]

(A) 极限lim

an 1an

n

小于1; (B) 极限lim

an 1an

小于等于1;

n

(C) 若极限lim

an 1an

n

存在, 其值小于1;(D) 若极限lim

an 1an

存在, 其值小于等于1;

n

6. 设参数a 0，则 sin(

n 1

n a)收敛性的结论是 [ ] [ B ]

22

（A）绝对收敛。（B）条件收敛。

（C）发散。 （D）与参数a取值有关。

7. (正常数项级数收敛的判定与其项趋于零阶的估计问题) 设an

0,p 0,lim n

n

1

p

(e

n

1)an

1, 若级数

a

n 1

n

收敛, 则p的取值范围

是 . 解: lim

an1n

p 1

n

1, p 2

广义积分习题课

8. 判断

n 1

1

1

ln 1 的收敛性.

n n

(收敛)

9. 判断

1

1 1

ln 1 ~3

n n

n2

n 1

an!n

n

n

的收敛性.

解: lim

un 1un

n

ae

a e, 绝对收敛; a e, 发散;

n

a e, un 1

un

1

(因为 1 单调上升趋于e) 发散.

n

10. 设an 0，单调减且级数

[ 收敛 ]

n 1

( 1)an发散，试问

n

n 1

(

1an 1

)是否收敛？证明结论。

n

11. 讨论级数

n 1

( 1)

n

的收敛性.

n

n ( 1)

解: 这是交错项级数, 通项趋于零, 但不单调. 不能用Lebnize定理.

两项合并,

a

n 1

2n 1

a2n 收敛. 又liman 0, 原级数收敛. 但不绝对收敛. 故条件收敛.

n

12. 讨论级数

n 1

n

( 1)ln 1 np

n

的收敛性 (p 0).

cn an bn

解: 记 an 则 cn~

( 1)n

1

p

,

bn ln(1 an),

2n

2p

当n 时.

n

(1) p 1,

c

n 1

绝对收敛, 故

b

n 1

n

绝对收敛.

n

(2) 0 p

12

时,

c

n 1

n

发散,

a

n 1

收敛, 故

b

n 1

n

发散.

广义积分习题课

(3)

12

n

n

p 1时,

c

n 1

绝对收敛,

a

n 1

收敛, 故

b

n 1

n

条件收敛.

(不能用Leibnize方法) 13. 常数项级数和微分方程

y x y

设函数y y(x)是定解问题 的解, 讨论级数

y(0) 1

n 1

1 1

y 1 的收

n n

敛性. 解: y x y,

y 1 y , y(0) 1,y (0) 1,y (0) 2, 由Taylor公式

11 1 1

y 1 2 o 2

nn n n

n 1

1 1

y 1 nn

n 1

1

o 2 收敛 n

原级数绝对收敛.

14. 常数项级数和积分的估值

设an

4

tan

n

xdx, 讨论级数

n

n 1

an