习题课__广义积分_185402114

广义积分习题课

习题课 广义积分

1. 判断 解: 与

1

arctanxx

1x

2

的收敛性.

x x 1

比较，由极限比较法，收敛.

2

1

2. 判断

1

xlnxx 1

5

dx的收敛性.

解: 由lim

lnxx

x 0，存在X 0，使得当x X 0时，lnx

x，

xlnxx 1

5

xxx 1

5

,p

76

1，直接比较法，收敛.

3. 判断广义积分

1sinx

的收敛性.

解:

1sinx

20

1sinx

dx

2

1sinx

，

第一个积分显然收敛，对第二个积分令x t,dx dt，

1sinx

2

0

1sint

2

20

1sinx

，收敛.

4. 讨论 解:

0

arctanx

p

x

arctanx

p

x

的收敛性.

10

arctanxx

p

p

1

arctanxx

p

dx

对第一个积分，

p 1 1,

arctanxx

与

1x

p 1

等价（x 0），

p 2收敛.

arctanxx

p

对第二个积分，与

1x

q

进行比阶，

x

lim

arctanxx

p q

0

2

p qp q

因此，当p q 1时第二个积分收敛。 综合上述分析，1 p 2时积分收敛。

广义积分习题课

5. 判断广义积分的收敛性

1 1 ln1 dx

x 1 x

1 1 ln1 dx 0 x1 x

1

解:

1 1

ln1 dx

x1 x

1

1 1

ln1 dx

x1 x

1 1 1 1

x 0, ln 1 ∽ lnx， ln 1 dx收敛； 0x1 xx

11 1

∽2， x , ln 1

2xx 1 x

1

1 1

ln1 dx收敛。

x1 x

故

1 1

ln1 dx收敛。

x1 x

6. 判断广义积分的收敛性 2

dxsindx

p

xcosx

q

解:

2

dxsin

p

q

xcosx

1

4

sin

1x

p

p

xcosx

q

2

dxsin

p

4

xcosx

q

x 0，

sin

p

xcosx1

q

∽

，当p 1时， 4

dxsin

p

xcosx

q

收敛；

x

2

，

sin

p

xcosx

q

∽

1

x 2

q

，当q 1时， 2

4

dxsin

p

xcosx

q

收敛。

故当p 1，q 1时， 2

dxsin

p

xcosx

q

收敛。

7. 判断广义积分的收敛性 解:

ln(1 x)x

p

dx

ln(1 x)x

p

dx

x

1

ln(1 x)x

p

dx

ln(1 x)x

10

p

1

dx dx收敛； dx收敛。

x 0，x ,

ln(1 x)xx

p

∽∽

1

p 1

，当p 2时， ，当p 1时，

dx收敛。

1

ln(1 x)x

p

ln(1 x)

p

lnx

p

ln(1 x)x

p

故当1 p 2时 8. 计算

0

x

ln(1 x)x

p

1

(1 5x) x

2

2

dx。

广义积分习题课

x tant,dx

1 t

2

，

I

20

sect1 5tantdsint

2

dt

20

1 4sin

2

t

a0

12

arctan(2sint)02

1

dx

12

2

arctan2.

9. 设常数a 0,若 解: arctana 10. 计算 解:

1

1

1 x

2

a

11 x

dx,则a [ ]

2

arctanxx

2

arctana，arctana

dx.

1

4

,a 1.

arctanxx

2

dx

1

1

arctanxd()

x

1x

arctanx

1

1x(1 x)

12

2

dx

4

lim

b

b1

(

1x

x1 x

2

)dx

4

lim[lnb

b

12

ln(1 b)

2

ln2]

4

12

ln2

.

11. 求积分

0

0

xe(1 e

x x

)

2

。

解:

xe(1 e

x x

)

= 2

0

xd(

11 e

x

)

=

x1 e

x

0

11 e

x

=0

1

1t(1 t)

ln

t1 t

ln2.

1

12. 广义积分

x

dxe

2x

1

[ ]. 1

edx secttantdt，

x

解: 取变换e sect，则x ln(sect),

I

2arccose

1

tanttant

dt

2

arccose

1

arcsine

1

.

13. 已知

sinxx

dx

2

，求

sinxcosx

x

dx，及

sinxx

2

2

dx

广义积分习题课

x

dx

2x

dx

2

2x

d 2x

2

x

dx

4

sinx

22

x

dx

sin

2

sinx 1

xd

x x

2

2sinxcosx

x

dx

2

。

补充题 关于积分的题 1.

2

f(x)f(x)f (x) f (x) f (x) 3 dx

2

解:

f (x)

f(x)f (x)

3

f(x)d f (x)

2

f (x) 3

12

f( …… 此处隐藏：981字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……