【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：8.5

【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：8.5 椭圆 Word版含解析]

第八章 第5讲

(时间：45分钟 分值：100分)

一、选择题

x2y2

1. [2013·海淀模拟]2<m<6是方程1表示椭圆的( )

m－26－mA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 答案：B

m－2>0， xy

解析：若＋＝1表示椭圆，则有 6－m>0，

m－26－m

m－2≠6－m，

2

2

∴2<m<6且m≠4.

x2y2

故2<m<6是＝1表示椭圆的必要不充分条件．

m－26－m

x2y2

2. [2013·汕头检测]已知椭圆＋＝1，F1、F2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M到

259F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|的长为( )

A. 1 C. 3 答案：D

1

解析：由题意知，|MF2|＝10－|MF1|＝8，ON是△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF2|

2＝4.

3. [2013·韶关调研]椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )

1

A. 4C. 2 答案：A

y2

解析：将原方程变形为x＝1，

1m

2

B. 2 D. 4

1B. 2D. 4

【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：8.5 椭圆 Word版含解析]

1

由题意知a2＝b2＝1，

m∴a，b＝1.∴m

12，∴m＝. m4

故应选A.

x22

4. 已知椭圆＋y＝1，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任一点．则|PF1|·|PF2|的最大值

4为( )

A. 6 C. 2 答案：B

m＋n2

解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a＝4，|PF1|·|PF2|＝mn≤＝4(当且仅当

2m＝n＝2时，等号成立)．故选B.

x2y21

5．[2013·湖南郴州]设e是椭圆1的离心率，且e∈1)，则实数k的取值范围

4k2是( )

A．(0,3)

16

C．(0,3)∪)

3答案：C

1k－4

解析：当k>4时，c＝k－4，由条件知，

4k16

解得k>；

3

当0<k<4时，c4－k，

14－k

由条件知<，解得0<k<3，综上知选C.

44

x2y2

6. [2013·福建调研]若点O和点F＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上

43的任意一点，则OP·FP的最大值为( )

A. 2 C. 6 答案：C

解析：由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则OP·FP＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x20＋x0＋y20.

2

x2y∵P＋＝1.

43

B. 4 D. 8

16

B．(3，)

3D．(0,2)

→→

B. 3 D. 8

→→

【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：8.5 椭圆 Word版含解析]

2x2

∴OP·FP＝x0＋x0＋3(1－)

→→

4

2

x1

＝x0＋3x0＋2)2＋2. 44

∵－2≤x0≤2，

∴OP·FP的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.

二、填空题

x22117. [2013·临汾模拟]椭圆y＝1的弦被点(，)平分，则这条弦所在的直线方程是

222________．

答案：2x＋4y－3＝0

11

解析：设该弦与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由点平分弦AB可得x1＋

221

x2＝1，y1＋y2＝1，再将点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程后作差可得kAB＝－，然后根

2据点斜式方程可求得直线AB的方程为2x＋4y－3＝0.

x2y2

8. [2013·上饶调研]已知F1、F2是椭圆＝1(a>b>0)的两个焦点，若椭圆上存在一点

abπ

P使得∠F1PF2e的取值范围为________．

3

1

答案：[，1)

2

πc

解析：设椭圆的短轴的一个端点为B，则∠F1BF2≥，在△BF1F2中，sin∠OBF2＝3aπ11

e≥≤e<1.

622

x2y29. [2013·金版原创]已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.

ab设线段AB的中点为M，若2MA·MF＋BF2≥0，则该椭圆离心率的取值范围为________．

答案：(0，3－1]

ab

解析：由题意得A(－a,0)，B(0，b)，M(－，)，F(c,0)，

22abab→→→

则MA＝(－)，MF＝(c＋，BF＝(c，－b)．

2222→→→2

由2MA·MF＋BF≥0可得c2＋2ac－2a2≤0， 解得e∈[－1－3，－1＋3]．

又e∈(0,1)，所以椭圆的离心率的取值范围为(0，3－1]． 三、解答题

→→

→→→

【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：8.5 椭圆 Word版含解析]

x2y210. [2013·南宁联考]设椭圆C1(a>b>0)的离心率e＝，点A是椭圆上的一点，

ab2且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)椭圆C上一动点P(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为P1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．

解：(1)依题意知，2a＝4，∴a＝2. c∵e＝c＝2，b＝a－c＝2.

a2x2y2

∴所求椭圆C的方程为＋1.

42

y－y x－x2＝－1，

(2)∵点P(x，y)关于直线y＝2x的对称点为P(x，y)，∴ y＋yx＋x

2×. 22

100

11

1

1

1

1

4y0－3x03y0＋4x0

解得x1y1＝55∴3x1－4y1＝－5x0.

x2y2

∵点P(x0，y0)在椭圆C：＝1上，

42∴－2≤x0≤2，则－10≤－5x0≤10. ∴3x1－4y1的取值范围为[－10,10]．

x2y23

11. [2013·深圳模拟]设A、B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，(1为椭圆

ab2上一点，椭圆长半轴的长等于焦距．

(1)求椭圆的方程；

(2)设P(4，x)(x≠0)，若直线AP，BP分别与椭圆相交异于A，B的点M，N，求证：∠MBN为钝角．

(1)解：依题意，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2. x2y2

设椭圆方程为＋＝1，

4c3c3

将(1)代入，得c2＝1.

2x2y2

故椭圆方程为＋1.

43

(2)证明：由(1)知，A(－2,0)，B(2,0)， 设M(x0，y0)，

32

则－2<x0<2，y20＝(4－x0)． 4

【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：8.5 椭圆 Word版含解析]

由P，A，M三点共线，得x＝6yx2，

0＋

BM→＝(x，BP→

＝(26y0－2，y0)x0＋2，

BM→·BP→

＝2x6y20－4＋x0＋2

＝5

2

(2－x0)>0， 即∠MBP为锐角，则∠MBN为钝角．

广雅中学模拟]如图所示，点P是椭圆y2x2

12. [2013·5＋41上

的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．

在椭圆y2x2

解：1中，a5，b＝2.∴ca－b54＝1.

又∵点P在椭圆上， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝25.① 由余弦定理知

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos30° ＝|F1F2|2＝(2c)2＝4.② ①式两边平方得

|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20.③ ③－②得(2＋3)|PF1|·|PF2|＝16. ∴|PF1|·|PF2|＝16(23)．

∴S△PF1

1F22

PF1|·|PF2|sin30°＝8－3.