2012届高三数学一轮复习基础导航：3.3三角函数的图像和性质(2)

(Ⅰ)求函数f(x)的值域；

(Ⅱ)设f(x)图象上过任意一点P的切线斜率为k，证明：|k|≤2.(文科选做) [来源:学|科|网Z|X|X|K]

π

4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<的图象与x轴的交点中，

2

π2π

相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)．

23

(1)求f(x)的解析式；

ππ

(2)当x∈[时，求f(x)的值域．

122

【基础精练参考答案】

π

6.D【解析】设f(x)＝sin2x＋acos2x，因为函数的图象关于直线x＝－对称，所以

8ππ

－＋x ＝f －－x 对一切实数x都成立， f 8 8

ππππ

－x ＋acos2 －＋x ＝sin2 －－x ＋acos2 －x 即sin2 8 8 8 8 ππππ

－＋2x ＋sin 2x ＝a cos 2x －cos －2x ， 即sin 4 4 4 4 ππ∴2sin2x·cos＝－2asin2x·sin，

44

即(a＋1)·sin2x＝0对一切实数x恒成立，而sin2x不能恒为0，∴a＋1＝0，即a＝－1，故选D.

πππ

x＋ ，∴当x＋＝2kπ－k∈Z)时，ymin2.T＝2π. 7.A【解析】∵y＝2sin 4 42π

8.C【解析】f(x)＝3sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)(ω>0)．

6

2π

∵f(x)图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f(x)的一个周期，∴＝

ωπππππ

π，ω＝2.f(x)＝2sin(2x＋)．故其单调增区间应满足2kπ－≤2x＋≤2kπ＋k∈Z)．kπ－

62623π

≤x≤kπ＋(k∈Z)．

6

9.B【解析】当0≤sinx≤1时，y＝sinx－2sinx＝－sinx，此时y∈[－1,0]；当－1≤sinx＜0时，y＝－sinx－2sinx＝－3sinx，这时y∈(0,3]，求其并集得y∈[－1,3].

3

－3 【解析】∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周10. 2 ππππ5π1

2x－，∵0≤x≤，∴－2x－，∴－期相等，∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin 6 26662ππ33

2x－ ≤1，∴－≤3sin 2x－ ≤3，即f(x)的取值范围为 －，3 . ≤sin 6 6 2 2

11. (99,0)【解析】对称中心横坐标为x＝2k＋1，k≥0且k∈N，令k＝49即可得． 2ππ

12. π【解析】由y＝cos(x＋＋m)的图象关于ym＝kπ，k∈Z，m

333＝kπ

(sin2x＋cos2x)2－sin2x·cos2x13.【解析】f(x)＝2－2sinxcosx

(1－sinx·cosx)(1＋sinx·cosx)＝2(1－sinx·cosx)111＝＋sinx·cosx)＝sin2x， 242

31

所以函数的最小正周期为π，最大值为，最小值为.

44

ππ

令2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，

22ππ

则kπ－≤x≤kπ＋k∈Z.[来源:]

44π3π

令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，

22π3π

则kπ＋≤x≤kπ＋k∈Z.

44

πππ3π

所以函数的单调增区间为[kπ－kπ＋]，k∈Z，单调减区间为[kπ＋kπ＋]，k∈Z.

4444

π2－k＝1时，m最小为π. 33

14.【解析】(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意可得， ππA＝2，B＝6，ω＝φ＝－

44

ππ

所以f(x)＝2sin(－)＋6(1≤x≤12，x为正整数)，

44π3

g(x)＝2sin(－π)＋8(1≤x≤12，x为正整数)．

44

π2

(2)由g(x)>f(x)，得sinx<.

423π9

2kπ＋x<2kππ，k∈Z，

444

∴8k＋3<x<8k＋9，k∈Z，[来源:学|科|网] ∵1≤x≤12，k∈Z，∴k＝0时，3<x<9， ∴x＝4,5,6,7,8；

k＝1时，11<x<17，∴x＝12. ∴x＝4,5,6,7,8,12，

故4,5,6,7,8,12月份能盈利．[来源:学科网ZXXK]

【拓展提高参考答案】 1．【解析】(Ⅰ)f(x)＝2sinxcosx＋asin2x＋1－sin2x

a－1

＝sin2x＋－cos2x)＋1.

2

ππa＋3∴f＝a，f(＝.

242

a＋3ππ

由f＝f(，有a＝∴a＝3.

242

π

∴f(x)＝sin2x－cos2x＋22sin(2x－)＋2.

4

∴函数f(x)的值域为[2－2，2＋2]． (Ⅱ)设P(x，y)是f(x)图象上任意一点，则

π

k＝f′(x)＝22cos(2x－)．

4

π

2cos(2x－ ≤2|＝22. ∴|k|＝|f′(x)|＝ 4

2π

2.【解析】(1)由最低点为M(2)得A＝2.

3

πTπ2π2π

在x轴上相邻两个交点之间的距离为得，即T＝π，∴ω＝T＝π2.

222

2π2π4π4π

由点M(，－2)在函数图象上得2sin(2×φ)＝－2，即sin(φ)＝－1，故φ

3333π

＝2kπ－k∈Z，

2

11π

∴φ＝2kπ－.

6πππ

又φ∈(0，)，∴φf(x)＝2sin(2x＋)．

266ππππ7π

(2)∵x∈ []，∴2x＋∈[]，

122636ππππ7ππ

当2x＋，即x＝f(x)取得最大值2；当2x＋＝x＝时，f(x)取得最小

626662

值－1，故f(x)的值域为[－1,2]．

a－1

3.【解析】(Ⅰ)f(x)＝2sinxcosx＋asin2x＋1－sin2x＝sin2x＋(1－cos2x)＋1.

2

ππa＋3∴f＝a，f(＝.

242

a＋3ππ

由f＝f(，有a＝∴a＝3.

242

π

∴f(x)＝sin2x－cos2x＋22sin(2x－)＋2.

4

∴函数f(x)的值域为[2－2，2＋2]． (Ⅱ)设P(x，y)是f(x)图象上任意一点，则

π

k＝f′(x)＝22cos(2x－)．

4

π

22cos(2x－) ≤2|＝22. ∴|k|＝|f′(x)|＝ 4