2012届高三数学一轮复习基础导航：3.3三角函数的图像和性质

3.3【考纲要求】

1、能画出

三角函数的图像和性质

的图像，了解三角函数的周期性.

2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等）.理解正切函数在区间（

3、了解函数

解参数

）内的单调性.

的图像，了

的物理意义；能画出

对函数图像变化的影响.

4、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.

【基础知识】

1．三角函数的图象及性质

2、周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内任意一个值时，都有

f(x T) f(x)，f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期，

周期函数的周期不唯一，kT,k z,k 0都是它的周期，所有周期中最小的正数就叫做它的最小正周期。

3、三角函数图像的变换

平移变换：左加右减，上加下减

把函数y f(x)向左平移 ( 0)个单位，得到函数y f(x )的图像 把函数y f(x)向右平移 ( 0)个单位，得到函数y f(x )的图像 把函数y f(x)向上平移 ( 0)个单位，得到函数y f(x) 的图像 把函数y f(x)向下平移 ( 0)个单位，得到函数y f(x) 的图像 伸缩变换：

①把函数y f(x)图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的

1

倍得w

y f( x)(0 1)[来源:Z*xx*]

②把函数y f(x)图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的

1

倍得w

y f( x)( 1)

③把函数y f(x)图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的

倍得

y f(x)( 1)

④把函数y f(x)图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的

倍得

y f(x)(0 1)

4、合一变形

asin

bcos )，

如

：

3sin2 cos2 2(

1 sin2 cos2 ) 2(sin2 cos cos2 sin) 2sin(2 )22666

5、函数y Asin( x ) h （1）其图象的作法有两种：

一是描点法（五点法），作出来的,这五个点是满足: x 0, 个x的值，对应y值分别是0,A,0, A,0。

用"五点法"作正余弦函数的图象要注意必须先将解析式化为y Asin( x )或

3

, , ,2 的五

22

y Acos( x )的形式。

二是图像变换法，由函数y sinx的图像变换得到函数y Asin( x ) h的图像，一般是先左右，再伸缩，后上下。如：y sin(2x （2）这个函数的最小正周期是T 6、温馨提示：

（1）使用周期公式，必须先将解析式化为y Asin( x )或y Acos( x )的形式；正弦余弦函数的最小正周期是T

6

)和y 2sinx 3

2

.

2

，正切函数的最小正周期公式是T

；注意

一定要注意加绝对值。

（2）三角函数有的地方是2k ,k z，有的地方是k ,k z。

【例题精讲】

例1 已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点π1 M 32 .

(1)求f(x)的解析式；

π312

0， ，且f(α)f(β)＝，求f(α－β)的值． (2)已知α，β∈ 2 513解：(1)∵f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)的最大值是1，∴A＝1. π1

∵f(x)的图象经过点M 32 ， π1

＋φ ＝. ∴sin 3 2π

∵0＜φ＜π φ＝，

2π

x＋ ＝cosx. ∴f(x)＝sin 2

π312

0，，所以 (2)∵f(x)＝cosx，∴f(α)＝cosα＝，f(β)＝cosβ＝α，β∈ 2513sinα＝

324

1－ 55sinβ12 25

1－ 13 ＝13.

故f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 3124556

＝＋＝.

51351365

π11 π1. φ (0<φ<π)，例2 已知函数f(x)＝xsinφ＋cos2xcosφ－sin 其图象过点 6222 2(1)求φ的值；

1

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数y＝g(x)

2π

0， 上的最大值和最小值． 的图象，求函数g(x)在 4

π11

φ (0<φ<π)， 解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin 22 21＋cos2x11

所以f(x)＝xsinφ＋cosφ－cosφ

22211

＝xsinφ＋cos2xcosφ 22

11

＝xsinφ＋cos2xcosφ)cos(2x－φ)， 22

π1又函数图象过点 6，2， π11

2×－φ ， 所以cos 6 22

ππφ ＝1， 又0<φ<π， 所以φ＝. 即cos 3 3

π11

2x－，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的(2)由(1)知f(x)＝ 32 2纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知

π4x－， g(x)＝f(2x)＝ 32 π

0， ， 因为x∈ 4 所以4x∈[0，π]， π2ππ

， 因此4x－ 3 33π1

4x－ ≤1. 故－≤cos 3 2

π11

0， 所以y＝g(x)在 4 24

π

例3 已知函数f(x)＝sin2ωx3sinωx·sin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y轴右

2侧的第一个最高点的横坐标为.

6

(1)求ω；

π

(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来

6的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．

解：(1)f(x)＝

313ωx＋cos2ωx＋ 222

π3

＝sin(2ωx＋＋62

πππ

令2ωx＋x＝ω＝1.

626π3

(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋.

62经过题设的变化得到的函数 1π3

g(x)＝sin(x－)＋.

262

45

当x＝4kπ＋，k∈Z时，函数取得最大值.

32

π1π3

令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π，

2262即x∈[4kπ＋

4π10

，4kπ＋π]，k∈Z为函数的单调递减区间． 33

3.3三角函数的图像和性质强化训练

【基础精练】

π5π

－，上的图象，1．下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间 为了得到这个函数的 66图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点(

)

π1

A．向左平移

32π

B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

3π1

C．向左平移

62π

D．向左平移2倍，纵坐标不变

6ππ

2x－ 的图象，只需把函数y＝sin 2x＋的图象( ) 2．为了得到函数y＝sin 3 6 ππ

A．向左平移 B．向右平移

44ππ

C．向左平移 D．向右平移

22

π

ω>0，|φ|< 的部分图象如图所示，则( ) 3．已知函数y＝sin(ωx＋φ) 2

ππ

A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－66π

C．ω＝2，φ＝

6

π

D．ω＝2，φ＝－来源:学科网ZXXK]

6

4．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如图所示，那么ω＝(

)

A．1

B．2 C.

2

D.3

ππ

x－ cos x－ ，则下列判断正确的是( ) 5．已知函数y＝sin 12 12 π

0 A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是 12 π

，0 B．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是 12 π

C．此函数 …… 此处隐藏：2798字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……