江苏省2014届一轮复习数学试题选编14：等差与等比数列综合(学生(3)

n

n 1

(3)Qan n 1, cn 4 ( 1)即cn 1 cn 4

n 1

2n 1,要使cn 1 cn恒成立,

4n ( 1)n 2n 2 ( 1)n 1 2n 1 0恒成立,

3 4n 3( 1)n 1 2n 1 0恒成立,∴( 1)n 1 2n 1恒成立,

(i)当n为奇数时,即 2

n 1

恒成立,当且仅当n 1时,2n 1有最小值为1, 1.

n 1

(ii)当n为偶数时,即 2恒成立,当且仅当n 2时, 2n 1有最大值 2, 2.即

2 1,又 为非零整数,则 1

综上所述:存在 1,使得对任意的n N,都有cn 1 cn

22.

23.本题主要考察等差数列等比数列的定义.通项.求和等基础知识,考察分析转化能力及推理论证能力.

证明:∵{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d 0),Sn是其前n项和

∴Sn na

n(n 1)

d 2

Snn 1 a d n2

2

(1)∵c 0 ∴bn

123

d) a(a d) 22

11111

∴ad d2 0 ∴d(a d) 0 ∵d 0 ∴a d ∴d 2a 24222

n(n 1)n(n 1)

∴Sn na d na 2a n2a

22

∵b1，b2，b4成等比数列 ∴b2 b1b4 ∴(a ∴左边=Snk (nk)a nka 右边=nSk nka ∴左边=右边∴原式成立

(2)∵{bn}是等差数列∴设公差为d1,∴bn b1 (n 1)d1带入bn

2

2

2

2

2

2

nSn

得: n2 c

b1 (n 1)d1

立

nSn113

∴(d d)n (b d a d)n2 cd1n c(d1 b1)对n N 恒成1112

22n c

1

d 12d 0

b d a 1d 0∴ 1 1

2

cd1 0

c(d b) 0 11

由①式得:d1

1

d ∵ d 0 ∴ d1 0 2

由③式得:c 0

法二:证:(1)若c 0,则an a (n 1)d,Sn 当b1，b2，b4成等比数列,b2 b1b4,

2

n[(n 1)d 2a](n 1)d 2a

,bn .

22

d 3d 2

即: a a a ,得:d 2ad,又d 0,故d 2a.

2 2

由此:Sn na,Snk (nk)a nka,nSk nka.

*

故:Snk nSk(k,n N).

2

2222222

2

(2)bn

nSn

n2 c

n2

(n 1)d 2a

, 2

n c

(n 1)d 2a(n 1)d 2a(n 1)d 2a

c c 2

n c(n 1)d 2ac

(n 1)d 2a. (※) 2

2n cn2

若{bn}是等差数列,则bn An Bn型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n 1)d 2a

(n 1)d 2a(n 1)d 2a故有:,即,而≠0, c 0 02

22n c

故c 0.

c

经检验,当c 0时{bn}是等差数列.

24.解:(Ⅰ)依题意得

3 24 5 3a d 5a d 50 11

22

(a 3d)2 a(a 12d)

11 1

解得

a1 3,

d 2

an a1 (n 1)d 3 2(n 1) 2n 1，即an 2n 1

(Ⅱ)

bn

3n 1,bn an 3n 1 (2n 1) 3n 1 an

Tn 3 5 3 7 32 (2n 1) 3n 1

3Tn

3 3 5 32 7 33 (2n 1) 3n 1 (2n 1) 3n

2Tn 3 2 3 2 32 2 3n 1 (2n 1)3n

3(1 3n 1)

3 2 (2n 1)3n

1 3

2n 3n

∴Tn n 3

25.解:(Ⅰ)设等比数列

n

an 的首项为a1,公比为q,

a1(2 q2) 3a1q,(1) 2a1 a3 3a2,

依题意,有 即 32

a a 2(a 2).43 2 a1(q q) 2a1q 4.(2)