概率论与数理统计第三章课后习题答案(3)

来源：网络收集时间：2026-09-19

导读：球的概率是多少？【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则 N P(A)全概率公式 P{A|X k} P{X k} k 0 N k 0 kN P{X k} nN. 1N N kP{X k 0 k} 1N E(X) 5.设随机变量X的概率密度为 x,0 x 1, f（x）= 2 x,1 x 2, 0,其他. 求

球的概率是多少？

【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则

P(A)全概率公式 P{A|X k} P{X k}

k 0

P{X k}

nN.

kP{X

k 0

E(X)

5.设随机变量X的概率密度为

x,0 x 1,

f（x）= 2 x,1 x 2,

0,其他.

求E（X），D（X）. 【解】E(X)

xf(x)dx xdx

x(2 x)dx

2x3 13

x x 1.

3 1 3 0

E(X)

xf(x)dx xdx

x(2 x)dx

故 D(X) E(X2) [E(X)]2

6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U=2X+3Y+1；

（2） V=YZ 4X.

【解】(1) E[U] E(2X 3Y 1) 2E(X) 3E(Y) 1 2 5 3 11 1 4 4

(2) E[V] E[YZ 4X] E[YZ] 4E(X)

因Y,Z独立E(Y )E(Z )

4E( X)

11 8 4 5 6 87.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X 2Y），

D（2X 3Y）. 【解】(1) E(3X 2Y) 3E(X) 2E(Y) 3 3 2 3 3.

(2) D(2X 3Y) 2D(X) ( 3)DY 4 12 9 16 192.

8.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

试确定常数k，并求E（XY）. 【解】因

k, 0,

0 x 1,0 y x,

其他.

f(x,y)dxdy

dx kdy

k 1,故k=2

E(XY)

xyf(x,y)dxdy

xdx 2ydy 0.25.

9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

2x,

fX（x）=

0 x 1,

e (y 5),

fY（y）= 其他; 0,

y 5,其他.

求E（XY）.

【解】方法一：先求X与Y的均值

E(X)

1 20

x2xd x

E(Y)

y 5)

(y令z y 5

ez d

ez d 5 16.

由X与Y的独立性，得

E(XY) E(X) E(Y)

6 4.

方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为

2xe (y 5)f(x,y) f

,0 x 1,y 5,X(x) fY(y) 0,

其他,

于是

E(XY)

xy 2xe

(y 5)

dxdy

(y 5)

2xdx

6 4.10.设随机变量X，Y的概率密度分别为

f）=

2e 2x,

x 0,

f 4e 4y,

y 0,X（x 0,

0;Y（y）=x 0,

y 0.

求（1） E（X+Y）;（2） E（2X 3Y2）.

【解】(X)

xfX(x)dx

x 2e

dx [ xe

-2x

edx

E(Y)

(y)d 0

yYfy4e

. E(Y2

)

f y4

Y(y)dy

y4e

dy 42

从而(1)E(X Y) E(X) E(Y)

1132

. (2)E(2X 3Y2

) 2E(X) 3E(Y2

) 2

12 3

18 58

11.设随机变量X的概率密度为

f（x）=

cxe

,x 0,

x 0.

求（1）系数c;（2） E（X）;（3） D（X）. 【解】(1) 由

k2x

f(x)dx

cxe

c2k

1得c 2k2

(2) E(X)

xf(x)d(x)

x 2dx

x2e

k2x

dx 2k

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