概率论与数理统计第三章课后习题答案(2)

y

xx2

y

2

dx

z

=

10

3

103 106 dy 1 1 y

2zy3 2z 1 1,z 1, 2z即 f z

Z(z) ,

0 z 1

,

2 0,

其他. 1 2z2,z 1, 故 f 1

Z(z) 2,

0 z 1 , 0,其他.

16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 求其中没有一只寿命小于180的概率.

只，

【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，20），

从而

P{min(X1,X2,X3,X4) 180}Xi之间独立P{X1 180} P{X2 180}

2

P{X3 180} P{X4 180} [1 P{X1 180 }] [P1X{ 2

1 80 }P][X13

4

{

1 8P0}4X][1

{180}]

180 160 4

[1 P{X1 180}] 1 20

[1 (1)] (0.158) 0.00063.

4

4

17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，

P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….

证明随机变量Z=X+Y的分布律为

i

P{Z=i}= p(k)q(i k)，i=0，1，2，….

k 0

【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，

所以 {Z i} {X Y i} {X 0,Y i }

于是

i

i

{X 1Y, i 1 } X{ iY,

P{Z i}

k 0i

P{X k,Y i}k相,X互Y独立

P{X

k 0

k} P{Y i }k

k 0

p(k)q( i )k

18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.

【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.

k

P{X Y k}

P{X

i 0

i,Y k i}

k

P(

i 0k

X i) P{Y

n

k}i

k

i n

k

i

i 0k

n i pq i n i p k i

n

k

q

i 0

n n k2

pq i k i

n

k

2n k2

pq

k

方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则

X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,

X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,

所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.

（2） 求V=max（X，Y）的分布律； （3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律. 【解】（1）P{X 2|Y 2}

P{X 2,Y 2}

P{Y 2}P{X 2,Y

5

2}

P{X

i 0

i,Y 2}

0.051

, 0.252

P{Y 3|X 0}

P{Y 3,X 0}P{X 0}

P{X 0,Y

3

3}

P{X

j 0

0,Y j}

0.011

; 0.033

（2）P{V i} P{max(X,Y) i} P{X i,Y i} P{X i,Y i}

i 1

i

P{X

k 0

i,Y k}

P{X

k 0

k,Y i}, i 0,1,2,3, 4

所以V的分布律为

(3) P{U i} P{min(X,Y) i}

P{X i,Y i} P{X i,Y i}

35

k i

P{X i,Y k}

k i 1

P{X k,Y i}

i 0,1,2, 3

于是

20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布. （1） 求P{Y＞0｜Y＞X}；

（2） 设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.

题20图

【解】因（X，Y）的联合概率密度为

1

,

f(x,y) πR2

0,

x y R,其他.

2

2

2

（1）P{Y 0|Y X}

P{Y 0,Y X}P{Y X}

y 0y x

f(x,y) d

y x

f(x,y) d

π

π/454π

d d

R0R0

11πR

2

rdr

rdr

π/4

2

3/8

1/23; 4

(2) P{M 0} P{max(X,Y) 0} 1 P{max(X,Y) 0}

1 P{X 0,Y 0} 1

x 0y 0

f(x,y)d 1

2

14

34

.

21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e所围成，二维随机变量（X，Y）

在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？

题21图

【解】区域D的面积为 S0

e

2

1x

1

dx lnx

e1

2

2.（X,Y）的联合密度函数为

1 ,

f(x,y) 2

0,

1 x e,0 y 其他.

2

1

x

,

（X，Y）关于X的边缘密度函数为

1 1/x1

dy , fX(x) 022x

0,

1 x e,其他.

2

所以fX(2)

14

.

22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和

2

【解】因P{Y yj} Pj

P{X

i 1

xi,Y yj},

故P{Y y1} P{X x1,Y y1} P{X x2,Y y1}, 从而P{X x1,Y y1}

16 18 124.

而X与Y独立，故P{X xi} P{Y yj} P{X xi,Y yi}, 从而P{X x1} 即：P{X x1}

16

P{X x1,Y y1} 124

/16 14.

124.

又P{X x1} P{X x1,Y y1} P{X x1,Y y2} P{X x1,Y y3}, 即

14 124

18

P{X x1,Y y3},

112.

38

从而P{X x1,Y y3} 同理P{Y y2}

3

12

, P{X x2,Y y2}

16

12

13

又 P{Y yj} 1,故P{Y y3} 1

j 1

.

同理P{X x2} 从而

34

.

P{X x2,Y y3} P{Y y3} P{X x1,Y y3}

13

112

14

.

故

23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率

为p（0<p<1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发

车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.

mmn m

【解】(1) P{Y m|X n} Cnp(1 p),0 m n,n 0,1,2, .

(2) P{X n,Y m} P{X n} P{Y m|X n}

e

(1 p)

n!

n

m

Cp

m

n

mn

n, m n,n 0, 1, 2,.

24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~

1 0.32

，而Y的概率密度为f(y)， 0.7

求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为

G(u) P{X Y u} 0.3P{X Y u|X 1} 0.7P{X Y u|X 2}

0.3PY{ u 1|X 1 }

由于X和Y独立，可见

0P.7Y {u

2X|

G(u) 0.3P{Y u 1} 0.7P{Y u 2}

0.3Fu( 1 )

由此，得U的概率密度为

0F.7u (

g(u) G (u) 0.3F (u 1) 0.7F (u 2)

0.3fu( 1 )0 …… 此处隐藏：2535字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……