雨中奔跑问题数学建模

下雨天怎样淋雨最少？数学建模问题全面解答

题目：一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。

1 建模准备

建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。

主要因素：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度 2 模型假设及符号说明

1）把人体视为长方体，身高h米，宽度w米，厚度d米。淋雨总量用C升来记。

2）降雨大小用降雨强度I厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。

3）风速保持不变。

4）你一定常的速度v米/秒跑完全程D米。

3 模型建立与计算

1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。

淋雨的面积 S 2wh 2dh wd (米)

雨中行走的时间 t 2D(秒) v

降雨强度 I(厘米/时) 0.01I(米/时) (0.01/3600)I(m/s)

C t (I/3600) 0.01 S(米3) 10(D/v) I/3600 S（升）

v为变量。模型中D,I,S为参数，而

结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。

若取参数D 1000米,I 2厘米/小时,h 1.50米,w 0.50米,d 0.20米,即S 2.2米2。 你在雨中行走的最大速度v 6米/每秒，则计算得

你在雨中行走了167秒，即2分47秒。

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从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。

经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。

表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。

原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。

2）考虑降雨方向。

若记雨滴下落速度为r（米/秒）雨滴的密度为p, p 1

表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数。

所以，I rp

因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。 顶部的淋雨量C1 (D/v)wd(prsin )

D/v表示在雨中行走的时间,wd表示顶部面积，rsin 表示雨滴垂直下落的速度。 前表面淋雨量C2 (D/v)wh[p(rcos v)] 总淋雨量（基本模型）C C1 C2 pwD(drsin h(rcos v)) v

取参数r 4m/s,I 3600 2cm/s,p 1.39 10 6

6.95 10 4

C (0.8sin 6cos 1.5v) v

可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。问题转化为给定 ，如何选择v使得 c最小。

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情形1

90 C 6.95 10 4(0.8 1.5) v

43结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得C 11.3 10m 1.13升

情形2

60 C 6.95 10 4[1.5 (0.4 3)/v]

结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。

假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得C 14.7 10m 1.47升

情形3 43

90 180 此时，雨滴将从后面向你身上落下。

C 6.95 10 4[(0.8sin 6cos )/v 1.5]

令 90 ，则0 90 。 C 6.95 10 4[(0.8sin(90 ) 6cos(90 ))/v 1.5]

C 6.95 10 4[(0.8cos 6sin )/v 1.5]

当 0 90 时，C可能取负值，这是不可能的。

出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到身上情形。 因此，对于这种情况要另行讨论。

当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是pwDh(rsin v)/v

淋雨总量为C pwD[drcos h(rsin v)]/v

C Dwdprcos rsin

4再次代如数据，得C 6.95 10(0.8cos )/(4sin )

结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。

若雨滴是以120的角度落下，即雨滴以 30的角

从背后落下，你应该以v 4sin30 2m/s的速度行走，此时，淋雨总量为

C 6.95 10 4(0.83/2)/2m3 0.24升

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这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。

当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是pwDh(v rsin )/v

淋雨总量为C pwD[drcos h(v rsin )]/v

C pwDr[(dcos rsin )/v h/r]

当dcos rsin 0,v尽可能大，C才可能小。

当dcos rsin 0,v尽可能小，C才可能小。

而v rsin ，所以v rsin ，C才可能小。

取v 6m/s, 30 时，C 6.95 10 4(0.4 6)/6m3 0.77升。

4 结论

若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。