【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练三 第1讲(3)

④若sin 2α<0，cos α－sin α<0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________． 答案 ①④

ππ

解析 对于①，函数y＝2sin(－x)－x)

36π

＝sin(x)，所以其最小值为－1；

3

1

对于②，函数y＝sin πxcos πx＝sin 2πx是奇函数，但其最小正周期为1；

2ππππ

对于③，函数y＝sin(x＋)在区间[0，]上单调递增，在区间[]上单调递减；

4442

sin 2α<0

对于④，由

cos α－sin α<0

cos α<0，sin α>0，所以α一定为第二象限角．

三、解答题

π

11．已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x时取得最大值

124.

(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的解析式；

2π12

(3)若f(α＋＝，求sin α.

3125

解 (1)f(x)的最小正周期T＝2π

3.

(2)由函数的最大值为4，可得A＝4. 所以f(x)＝4sin(3x＋φ)． 当x＝ππ

1212＋φ)＝4，

所以sin(π

4＋φ)＝1，

所以φ＝2kπ＋π

4，k∈Z，

因为0<φ<π，所以φ＝π

4

所以f(x)的解析式是f(x)＝4sin(3x＋π

4)．

(3)因为f(23π12＝12

5，

故sin(2α＋ππ3

4＋4＝5

.

所以cos 2α＝351－2sin2

α35

故sin2

α＝155所以sin α＝±5

.

12．已知函数f(x)＝sin2

x＋23sin xcos x＋3cos2

x，x∈R.求：(1)函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)函数f(x)在区间[－ππ

63]上的值域．

解 (1)由二倍角的正、余弦公式及其变形，得

f(x)＝

1－cos 2x

3sin 2x＋cos 2x

2＋2

＝23sin 2x＋cos 2x ＝2＋2(

32sin 2x＋1

2

cos 2x) ＝2sin(2x＋π

6

)＋2.

∴函数f(x)的最小正周期T＝2π

2π，

π22kπ≤2x＋ππ

6≤2kπ＋2

，k∈Z，

即kπ－π3≤x≤kπ＋π

6，k∈Z时f(x)为单调递增函数，

∴f(x)的单调递增区间为[kπ－ππ

3，kπ＋6，k∈Z.

(2)由题意得－π6x≤π

3，

∴2x＋π6π65π

6]，

∴sin(2x＋π1

6)∈[－21]，

即1≤2sin(2x＋π

6

)＋2≤4，

∴f(x)区间[－ππ

63

]上的值域为[1,4]．