【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练三 第1讲(2)

进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身．

真题感悟

ππ

1．(2014·辽宁)将函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函

32数( )

π7π

A．在区间[，上单调递减

1212π7π

B．在区间[，上单调递增

1212ππ

C．在区间[上单调递减

63ππ

D．在区间[上单调递增

63答案 B

解析 y＝3sin(2x＋2

3sin(2x－π)．

3

π2ππ7

令2kπ－≤2x－π≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ，k∈Z，则y＝3sin(2x

2321212

ππππ

)的图象向右平移个单位长度得到y＝3sin[2(x－)＋]＝3223

2π7

－)的增区间为[kπ＋kπ]，k∈Z. 31212π7

令k＝0得其中一个增区间为[，]，故B正确．

12122ππ

画出y＝3sin(2x－π)在[－，上的简图，如图，

3632ππ

可知y＝3sin(2x－π)在[－，上不具有单调性，

363故C，D错误．

2．(2014·北京)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间

π，π上具有单调性，且f π＝f 2π＝－f π，则f(x)的最小正周期为________．

2 3 6 62

ππ上具有单调性，

62

答案 π 解析 ∵f(x)在

Tππ∴， 226

2π∴T≥3

π 2π∵f ＝f ， 2 3

π2π237π

∴f(x)的一条对称轴为x＝.

212

π π又∵f ＝－f ，

2 6

ππ

26π

∴f(x)的一个对称中心的横坐标为.

2317πππ

∴＝＝T＝π. 41234押题精练

1．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，其中M(m,0)，N(n,2)，P(π，0)，且

mn<0，则f(x)在下列哪个区间中是单调的(

)

π

A．(0，)

4

π2πB．(43

π3π

C．)

24答案 B

2π

D．(，π)

3

解析 ∵mn<0，所以当左右移动图象，当图象过原点时，即M点在原点时，此时T＝π，则ωπ3ππ

＝2，∴f(x)＝2sin(2x)，在(，上为减函数，(0，)上为增函数；当图象的最高点在

444

y轴上时，即N点在y轴上，T＝π，ω＝f(x)＝2sin()，在(0，

(

2ππ2π

，π)上为增函数．所以f(x)在(，上是单调的． 343

2

3

432322π

)上是减函数，3

2．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx3cosωx－π图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为4(1)求f(x)的表达式；

3

(ω>0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)2

π

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来

8π

的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[02上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围． 11＋cos 2ωx3

解 (1)f(x)ωx＋322213π

＝ωxcos 2ωx＝sin(2ωx＋)， 223ππ由题意知，最小正周期T＝2×

42

Tπ 2πππ ω＝2，∴f(x)＝sin 4x＋ . 3 2ωω2

ππ

y＝sin(4x)的图象， 86

(2)将f(x)的图象向右平移

再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， π

得到y＝sin(2x－)的图象．

6π

所以g(x)＝sin(2x－)．

6

πππ5π

令2x－＝t，∵0≤x≤≤t≤.

6266

g(x)＋k＝0在区间[0，上有且只有一个实数解，

π

2

即函数g(t)＝sin t与y＝－k在区间[－上有且只有一个交

66点．如图，

11

由正弦函数的图象可知－k<或－k＝1.

2211

<k≤或k＝－

1.

22

(推荐时间：50分钟)

一、选择题

1．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0

31

， ，当秒针从P0(此时t＝ 22

0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( ) A．y＝sin

πt＋π

6 30

π π

B．y＝sin －－

6 60π π

C．y＝sin －＋

6 30π π

D．y＝sin －－

3 30答案 C

ππ

解析 由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为630针尖位置P到坐标原点的距离为1，故点P的纵坐标y与时间t的函数关系可能为y＝π π

sin －＋.

6 30

π

2．将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短

21

到原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为( )

2A．y＝cos 2x C．y＝－2sin 4x

答案 D

B．y＝－2cos x D

．y＝－2cos 4x

解析 函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到y＝2cos 2(x＝2cos(2x－π)

221

＝2cos(π－2x)＝－2cos 2x，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不

2变)，得到y＝－2cos[2·(2x)]，即y＝－2cos 4x.

ππ2π

3．函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0且|φ|<)在区间[]上单调递减，且函数值从1减小

263到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为( ) 1

A.2C.3 2

B.D.2 26＋2

4

答案 A

T2ππ2ππ

解析 依题意知－T＝π＝，∴ω＝2，将点(1)代入y＝sin(2x＋φ)得

236ω6

ππππ1

φ)＝1，又|φφy＝sin(2x，与y.

32662π

4．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如

2→→

图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且OM·ON＝0，则A·ω等于( )

π7π7π7πA. C.61263答案 C

Tππ解析 由题中图象知

4312

所以T＝π，所以ω＝2.

π 7πA 则M A ，N

12 12

7π→→2

由OM·ON＝02A，

12所以A＝

7π7π

A·ω＝. 126

π

)|对x∈R恒成立，且6

2

5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中|φ|<π，若f(x)≤|f(

f()<f

(π)，则下列结论正确的是( )

π2

11

A．f()＝－1

127ππB．f(f105C．f(x)是奇函数

ππ

D．f(x)的单调递增区间是[kπ－kπ＋k∈Z)

36答案 D

ππππ

解析 由f(x)≤|f()|恒成立知x＝是函数的对称轴，即2×＋φ＋kπ，k∈Z，所

6662ππ

以φ＝＋kπ，k∈Z，又f()<f(π)，所以sin(π＋φ)<sin(2π＋φ)，即－sin φ<sin

62φ.所以sin φ>0，得φ＝

ππ

f(x)＝sin(2x＋)， 66

πππ

2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

262ππ

kπ≤xkπ，k∈Z，

36

ππ

即函数的单调递增区间是[kπ－，kπ＋k∈Z)．

36

π

6．已知A，B，C，D，E是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<一个周期内的图象上的五个

2π

点，如图所示，A(－，0)，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个

6π→

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