华东师范大学考研必看高等代数考研真题及解答完整版(2)

A． r0,r0 1,r0 2,...,r0 s是AX=B的一组线性无关解向量

B． AX=B的每个解均可表为r0, 1,2 2,...,s s的线性组合。

C． 2r0 1 ... s是AX=B的解。

D． AX=B的每个解均可表为 0, 0 1, 0 2, 0 s的线性组合。

11. 以下各向量组中线性无关的向量组为：

A. (2, 3,4,1),(5,2,7,1),( 1, 3,5,5);

B. (1,2,0,2),(1,1,1),(3,2,1),(4,78,16);

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C. (2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0);

D. (1,2, 3,1),(3,6, 9,3),(3,0,7,7).

12. 由标准欧几里得空间R4中的向量组 1 (1,0,1,1)，

2 (1, 1, 1,0), 3 (2,0, 1, 1)张成子空间W的一组规范正交基为_____

13. 设V是n维欧几里得空间，W是V的子空间，则(W)W

A. B. C. D.

1 1 14. A 0 02 1 2 1 1 1 1的逆矩阵A ________ 012 011

15. 设A是有限维线性空间V上的线性变换，如果V KerA ImA，则

KerA ImA {0}

二计算题

16. （12分）求实二次型f(x1,x2, ,xn) 2 x

i 1n2i 2(x1x3 x2x3 xn 1xn xnx1)的

正惯性指数，负惯性指数，符号差以及秩

17. （18分）讨论b1,b2, ,bn(n 2)满足什么条件时下列方程有解，并求解

x1 x2 b1 x x b232 x x bn 1 n 1n

xn x1 bn

18. （12分）试在有理数域，实数域以及复数域上将f(x) x x x x 1分解

为不可约因式的乘积（结果用根式表示），并简述理由。

19. （18分）已知g( ) ( 2 2)( 1)是六阶方阵A的极小多项式，且Tr(A) 6，

试求（1）A的特征多项式f( )及若尔当典范型。（2）A的伴随矩阵A的若尔当典范

型。

三证明题

20. （10分）设f( ) a1 nn 1*22987证明： an 1 an是实对称矩阵A的特征多项式，

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A是负定矩阵的充要条件是a1,a2, ,an 1,an均大于0。

21. (10分)证明：如果n阶行列式Dn中多有元素都为1或-1，则当n 3时，

Dn (n 1)(n 1)!。

22. （10分）证明：每个秩为r的n阶r n实对称矩阵均可表为n-r个秩为n-1的实对称

矩阵的乘积。

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华东师范大学2006年攻读硕士学位研究生入学试题

高等代数

一、填空、选择、是非题（共15小题，满分60分，每小题4分）

ab 1. 设M ad bc。 ，则M的伴随矩阵M的行列式的值等于 cd

2. 向量组 1 (1, 1,2,3), 2 (1,0,7, 2), 3 (2, 2,4,6), 4 (0,1,5, 5)的极大线性无关组为

1, 2（若有多组，只需填写一组）

6 10 53. 设A 33。 ，则Tr(A) 23

4. 四元多项式环 [x1,x2,x3.x4]中有所有6次齐次多项式生成的复空间的维数等于213

。

2 12 25. 已知A的逆矩阵等于132。则A的逆矩阵为 1 14 5 710 7616 5 816 。

6. 如果 1, 2, , m是n维欧几里德空间中的一组非零向量，且满足：( i, j) 0, i j,则m的

最大值是n 1。

7. 设A是线性空间 的线性变换，使得A(1,1) (1, 1),A(3,2) (2,1),则A(4,2)等于（A） (A) (2,4); (B) ( 4,2); (C) ( 2,3); (D) (2, 3).

8. 若5个方程7个未知量的齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，则其线性无关解向量的最大个数

等于（B）

(A) 5； (B) 4； (C) 3； (D) 2。

9. 特征多项式等于( 1)( 5)的两两不相似的矩阵共有（B）

(A) 10个; (B)8个； (C)6个； (D)4个。

10.

已知3, 2,1 i是非零有理系数多项式f(x)的根，则f(x)的次数（D）

(A) 小于等于3； (B)等于4； (C)等于5； (D)大于5。

11. 已知对任何可逆矩阵B有分解B TB PB，其中TB是由B所确定的正交阵，PB是由B所确定的

上三角阵，则对任意实可逆阵A必有分解 ：A S Q，这里S是正交阵，Q是下三角阵。那么422

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S可取（D）

(A) TAT； (B)TA 1； (C) TAT； (D)T(A 1)T。

（ ） 12. 如果n个未知量n个方程的线性方程组AX B有唯一解，则其系数行列式det(A) 0。

13. 若TTj1j2 jn是偶排列，则a1a2 an是奇排列，其中

a1 j2,a2 jn,ak jk,k 3, ,n 1,an j1.（ ）

14. 若A是实对称矩阵，且A 0，则A 0。（ ）

15. 有理数域上线性空间V的变换A是线性变换当且仅当对任意的u,v V,有

A(u v) A(u) A(v) （ ）

二、计算题（共5小题，满分60分，每小题12分） 3

x1 2x2 ax3 1,

16. a取何值时，下列方程组有解，并求解{x1 3x2 (2a 1)x3 1,

x1 (a 3)x2 ax3 2a 1.

210 23456717.设A 021,f(x) 1 x x x x x x x,求f(A). 002

18.用正交线性替换化实n元二次型

q(x1, ,xn)

为典范形，并求其符号差。

19.已知三阶方阵A的特征值是1，-1，2。设矩阵B A 5A。计算：

（1）B的初等因子及若尔当典范形；

（2）行列式A 5E,32n xxi 1in i 1 1B的值。 2

20.求所有满足条件：f(0) 4,f(1) 2,f( 1) 10,f(2) 2的实系数多项式f(x)。

三、证明题（共3小题，满分30分，每小题10分）

21.设A是实对称矩阵。证明：对任意正整数m，存在实对称矩阵B，使得A B的充分必要条件是m

A是半正定矩阵。

22.证明：任意复方阵都可写成两个复对称矩阵的乘积。

23.设A是数域 上n维线性空间V的线性变换。证明：存在V的A不变子空间W1,W2, ,Wm,使得

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V W1 W2 Wm，其中 每个Wi的极小多项式为pi(x)ki，而p1(x),p2(x), pm(x)为互不相同的首一不可约多项式。

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华东师范大学

2007年攻读硕士学位研究生入学试题

考试科目代码及名称：高等代数 417

招生专业：

考生注意：

无论以下试题中是否有答题位置，均应将答案做在考场另发的答题纸上（写明题号） 以下，E表示单位矩阵，A 表示A的转置，A表示A的伴随矩阵。

第一部分 选择题、是非题、填空题：（15*4=60分）

1．设 1 2, 1,1 , 2 1, 1,2 , 3 1, 4,7 , 1 4, 1,3 , 2 7,a,4 3 a, 2,3 如果向量组 1, 2, 3 与向量组 1, 2, 3 的秩相等，则a 2．设V是由数域F上全体四次三元对称多项式所生成的F上的线性空间，则dimF

3．设A是一个n阶方阵，满足A A，则rankA rank(A E) （ ）

(A) 大于n (B)等于n (C) 小于n (D)无法确定

4．设A是由数域F上n维线性空间V的一个线性变换，则V AV A(0)的充分必要条件是dimAV dimA(0) n.

5．设A是由复数域F上一个n阶方阵，如果与A相似的矩阵只有A本身，则A一定是一个 矩阵。

6．已知A,B,C都是n阶方阵，如果ABC E，则下列等式 1 12*

BCA E,CBA E,CAB E,BAC E,ACB E中一定成立的有（ ）个。

(A) 1； (B)2； (C) 3； (D)4。

7．设向量组 1, 2, , s 1(s 3)线性无关，向量组 2, 3, , s线性相关，则（ ）

(A) 1 可被 2, 3, , s线性表示， s可被 1, 2, , s 1线性表示；

(B) 1 可被 2, 3, , s线性表示， s不可被 1, 2, , s 1线性表示；

(C) 1 不可被 2, 3, , s线性表示， s可被 …… 此处隐藏：3044字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……