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华东师大 考研 试题

华东师大2002高代解答

GuLong于2006年1月22日星期日完成

一、计算行列式

解：记原行列式为D，将第一列

x 1

0D 0

044 4x2 2 2x 222 xn44 4x2 2=2x 222 xn

x2 222 2

2x 2x 20 0（x-1）+ 0x 2 022 xn 100 x 1n

=(x-1)[x+2(n-2)](x-2)n 2+[1-2(n 1)](x-2)n 1

x 2

以上是在x 2时求得的

而当x 2时，很明显D 0，满足求得的解析式。

综上所述，D (x 2n 2)(x 2)n 1. 1

1

1

1=( 1)=( 1)( 1)=02二、解：D2n E A nnn

1 2 n 1, n 1 n 2 2n 1

10当 1时，( E A)X 0即为

x1 ( 1,0, ,0,1) x1 x2n 0 x x 012n x x 22n 1 0 x2 (0, 1,0, ,0,1,0) 得 x2 x2n 1 0 xn xn 1 0 xn (0, ,0, 1,1,0, ,0) xn xn 1 0

02当 1时，( E A)X 0即为

xn 1 (1,0, ,0,1) x x 012n x (0,1,0, ,0,1,0) n 2x x 0得 22n 1 x2n (0, ,0,1,1,0, ,0) x x 0 nn 1

A A, 以上向量两两正交，只须单位化即可。

华东师大 考研 试题

,0, 1,0, ,0,1,0, ,0) ,i 1,2, ,nxi ,0,1,0, ,0,1,0, ,0) ,i n 1,n 2, ,2nxi

记T (x1,x2, ,x2n)则T T E,即T为正交矩阵，且

ET AT T 1AT n

三、 B。 En 1.证明：（1）取空间V的一组基 1, 2, , n，使得线性变换A在 1, 2, , n下的矩阵

A，根据线性变换与矩阵的一一对应关系，知A2=A故A2 A，

A2 A 2E 2E (A E)(A 2E) 2E

|A E||A 2E| | 2E| ( 2)n 0 |A E| 0 A E可逆

即A+E可逆

2（2）记g(x) x x，则g(A) 0，即g(x)为A的零化多项式且无重根，故A可对角化，

g(x) 0的根为x1 0,x2 1，另外rankA r，

若r 0 A 0 A的全部元素为0，从而rankA=0=TrA

若r 0 A 0 x不是A的最小多项式，从而r n时，A=E，故A的最小多项式为x 1此时仍有rankA=n=TrE=TrA

若0 r n，此时A的最小多项式为g(x) x(x 1) 可逆

1矩阵T，s.tTAT Er

00 Er， A 00 0 Er TrA Tr 00

0

2En-r 0 r rankA0 2．由上，TAT 1 Er

00 Er 1 T(2E A)T ， 00 |2E A| Er

002En r 2n,r 0 |Er||2En r| 2n r,0 r n 1,r n

|2E A| 2n r

四、证明：由分块矩阵的初等变换，有以下事实。

En C B 1 0 BC En Em C 0 00 B 1C B B Em 0 C B 1C 1 ，其中D C BCD

下证D负定 X 0,s.tX DX 0

华东师大 考研 试题

记Y CX, C为列满秩， 当X 0时Y CX 0

X DX Y B 1Y B正定，从而B 1正定。

DX 0,又D D Y 0有 Y B 1Y 0从而，X

D负定

记Ｂ的特征值为 i 0,i 1,2, ,n

Ｄ的特征值为 j 0,i 1,2, ,n

正交矩阵P1,P2，s.t 1 1 PBP PDP ，11 22 n m

1 n P D m 记P P1 B P，则 P2

B 1C P，Em 1 E 记T n

0

BC T T C0 1 n 1 1 n ，即T AT m

负惯性指数为m. 1 m f(X) X AX中，正惯性指数为n,

即Ａ的特征值为n个为正，m个为负.

五、将f(x)在实数域上因式分解得，

lf(x) A(x x1)k1(x x2)k2 (x xm)km(x2 a1x b1)l1 (x2 anx bn)n

其中 i ai 4bi,i 1,2, ,n.

由已知条件 c R,f(c) 0,知2k1 km;l1 ln N

A 0且每个ki均为偶数。

(x x1) (x xm)km p(x)，其中p(x) (x x1)

(x xm)2k1

2km

2

2对于每个x aix bi (x ai2)

2

2

a(x 1)2 2

2(x2 a1x b1)l1 (x2 anx bn)ln

l1a (x n)2 2 2 ln

华东师大 考研 试题

(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2(ad bc)2 (*)

事实上，我们由复数乘法知

(a bi)(c di) (ac bd) (ad bc)i

两边取模并平方得

(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2(ad bc)2

将此恒等式运用到多项式中，重复(*)式有限次后，最终可得

2(x2 a1x b1)l1 (x2 anx bn)ln q12(x) q2(x)

令g(x) (x)q1(x),h(x) (x)q2(x)，则

f(x) g2(x) h2(x)

六、证明： AB 0, rankA rankB n，结合rankA n 1知rankB 1，下面分两种情

况讨论：

（1）rankB 0 B 0，取g(x) |xE A|，则由Hamilton-caylay定理知g(A) 0

B 0 g(A)

（2）rankB 1，在复数域上考虑方阵A,B

J1

1 T为可逆，使得TAT J2 Js

1 1 1 1 1 1，又AB BA, (TAT)(TBT) (TBT)(TAT)，故TAT与TBT可交换，从而

B1

1TBT B2 Bs

rankB 1，不妨就取B1，B2， ，Bs 1均为0，从而Bs只能为一非零数，设为b 0即

0 0 1 bETBT nn b

其中Enn表示第n行第n列的交叉处元素为1，其余元素为0的矩阵。

J1

1 1 J2

华东师大 考研 试题

由分块标准知，Js为一阶阵，从而为一数，记为a

(T 1AT)(T 1BT) abEnn 0 ab 0，又b 0， a 0

J 1 TAT J1 ，其中J J 0 Js

rankA n 1, rankJ n 1, J可逆，则

J的特征多项式f(x) |xEn 1 J|的展开式中的常数项为f(0) | J| 0

取g(x) g(J) 0bf(x)，则 ，故f(0) g(0) b

g(J) T 1BT bEnn g(J ) g(T 1AT) T 1g(A)T g(0)

由于T可逆， B g(A)

注：若有不妥之处还请指正，欢迎大家指出其中的错误，提出更好的解法！！

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华东东师大

20002

高等等代数

华东师大 考研 试题

华东师范大学

2003年功读硕士研究生入学考试试题

考试科目：高等代数

一填空,是非,选择题(共小题,满分分,每小题分)

1如果排列j1j2j3j4j5的逆序数为4,则排列j5j4j3j2j1的逆序数等于___

2设A是3阶方阵,如果 2A 56,则A ___

2 33x

499x2

3多项式f x 全部根为____ 8 2727x3

8181x4

4设A B C,其中B为对称矩阵,C为反对称矩阵,那么B=_________

5设r与s分别是某线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩.若该方程组无解,则

(A)s=r-1

(B)s=r

(C)s=r+1

(D)r与s之间的关系不确定。

6以下诸命题中错误的命题是

(A)包含零向量的向量组必线性相关.

(B)如果向量组 1, 2,..., r线性无关,而 1, 2,..., r， 线性相关,则 可表为 1, 2,..., r的线性组合.

(C)如果向量组 1, 2,..., r， r 1线性无关,则 1, 2,..., r也线性无关

(D)如果向量组 1, 2,..., r线性相关,则每个 i均可表为其余向量的线性组合.

7缺

8以下向量组中线性无关的是

（A） 1 1,2,3,4 , 2 4,3,2,1 , 3 1,1,1,1 ,

（B） 1 2, 2,0,0 , 2 0,1, 1,0 , 3 0,0,3, 3 ,

（C） 1 1,2,4 , 2 1,3,9 , 3 1,4,16 , 4 1,5,25

（D） 1 1, 1,1, 1 , 2 0,0,0,0 , 3 1,2, 3,4 ,

9如果U和W是线性空间V的维数相等的子空间,且子空间U+W和U W的维数分别为8和2,则U的维数等于____

华东师大 考研 试题

2 10 T 110已知A 12 1 则A

0 22 1 _____

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