【配套K12】高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标

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教案试题 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3 平面向量的坐标运算

学习目标：1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．(易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．平面向量的正交分解及坐标表示

(1)平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

(2)平面向量的坐标表示：

在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示．显然，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)．

2．平面向量的坐标运算

设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则有：

1．思考辨析

(1)若OA →＝(2，－1)，则点A 的坐标为(2，－1)．( )

(2)若点A 的坐标为(2，－1)，则以A 为终点的向量的坐标为(2，－1)．( )

(3)平面内的一个向量a ，其坐标是唯一的．( )

[解析] (1)正确．对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同．

(2)错误．以A 为终点的向量有无数个，它们不一定全相等．

(3)正确．由平面向量坐标的概念可知．

[答案] (1)√ (2)× (3)√

2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12

AB →的坐标是( )

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教案试题 A ．?

????－4，12 B ．? ????4，－12 C ．(－8,1)

D ．(8,1)

A [A

B →＝OB →－OA →

＝(－5，－1)－(3，－2)

＝(－8,1)，

12AB →＝? ????－4，12.] 3．如图2­3­14，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，若|a |＝2，θ＝45°，则向量a 的坐标为________．

图2­3­14 (2，2) [由题意知

a ＝(2cos 45°i,2sin 45°j )

＝(2i ，2j )

＝(2，2)．]

[合 作 探 究·攻 重 难]

如图

AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形．

图2­3­15

(1)求向量a ，b 的坐标；

(2)求向量BA →的坐标；

(3)求点

B 的坐标. 【导学号：84352220】

[解] (1)作AM ⊥x 轴于点M ，

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教案试题 则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝22， ∴A (22，22)，故a ＝(22，22)．

∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°，

∴∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3，

∴C ? ??

??－32，332， ∴AB →＝OC →＝? ??

??－32，332， 即b ＝? ??

??－32，332. (2)BA →＝－AB →＝? ????32

，－332. (3)OB →＝OA →＋AB →

＝(22，22)＋? ??

??－32，332 ＝?

????22－32，22＋332. [规律方法] 求点、向量坐标的常用方法：

1求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.

2求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.

[跟踪训练]

1．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，

(1)求向量OA →的坐标；

(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标． [解] (1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23， y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA →＝(23，6)．

(2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3

，7).

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教案试题

(1)已知a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(5,7)，则a ＝________，b ＝________.

(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求M ，N 及MN →的

坐标．

[思路探究] (1)用加减消元法求a ，b 的坐标．

(2)法一：设点M ，N 的坐标，用向量相等的坐标表示列方程求值．

法二：用向量线性运算的几何意义直接计算OM →，ON →的坐标．

(1)(3,5) (－2，－2) [由a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(5,7)，

所以2a ＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，

所以a ＝(3,5)，

2b ＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，

所以b ＝(－2，－2)．]

(2)[解] 法一：(待定系数法)由A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，

可得CA →＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，

CB →＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，

所以CM →＝3CA →＝3(1,8)＝(3,24)，

CN →＝2CB →

＝2(6,3)＝(12,6)．

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，

则CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3,24)，x 1＝0，y 1＝20； CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12,6)，x 2＝9，y 2＝2，

所以M (0,20)，N (9,2)，

MN →＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．

法二：(几何意义法)设点O 为坐标原点，则由CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，

可得OM →－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)，

从而OM →＝3OA →－2OC →，ON →＝2OB →－OC →，

所以OM →＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)，

ON →＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)，

即点M (0,20)，N (9,2)，

故MN →＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．

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教案试题 [规律方法] 平面向量坐标的线性运算的方法： 1若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. 2

若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. 3向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.

[跟踪训练]

2．若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12

AC →的坐标．

[解] ∵AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)，

∴AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)

＝(－2,10)＋(－16,8)

＝(－18,18)，

BC →－12AC →＝(－8,4)－12

(－10,14)

＝(－8,4)－(－5,7)

＝(－3，－3).

[1．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.当t 为何值时，点P 在x 轴上？

点P 在y 轴上？点P 在第二象限？

提示：∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )．

若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，

∴t ＝－23. 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，

∴t ＝－13

. 若点P 在第二象限，则????? 1＋3t <0，2＋3t >0，

∴－23<t <－13

. 2．对于探究1条件不变，四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．

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教案试题 提示：∵OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．

若四边形OABP 为平行四边形 …… 此处隐藏：3231字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……