高中数学3-2第4课时空间向量与空间距离(选学)

第4课时 空间向量与空间距离(选学)【课标要求】 1.理解点到平面的距离的概念. 2.能灵活运用向量方法求各种空间距离. 3.体会向量法在求空间距离中的作用.

【核心扫描】1. 两点间的距离，点到平面的距离.(重点) 2. 两异面直线间的距离，线面距、面面距向点面距的转 化.(难点)课前探究学习 课堂讲练互动

自学导引空间中的距离

课前探究学习

课堂讲练互动

想一想：在求两条异面直线间的距离，直线到平面的距 离，两个平面间的距离时能转化为点到平面的距离求解 吗？

提示

能.因为直线与平面平行，两个平面平行时，直线

上的点或其中一个平面上的点到另一个平面的距离均相 等，而两条异面直线可以构造线面平行，所以在求以上距

离时均可转化为点到平面的距离.

课前探究学习

课堂讲练互动

名师点睛点到平面距离的求法 如图，BO⊥平面 α,垂足为 O,则点 B 到平面 α 的距离就是线段 BO 的长度. 若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA 中，|BO|=|BA|·cos∠ABO=

→

→

|BA|·|BO|·cos∠ABO .如果令平面 α 的法向量为 n,考虑到法 → |BO|

→

→

→ |AB·n| 向量的方向，可以得到 B 点到平面 α 的距离为|BO|= . |n|课前探究学习 课堂讲练互动

→

因此用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几步完

成：(1)求出该平面的一个法向量； (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法 向量的模，即可求出点到平面的距离.n 由于 =n0 可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距 |n| 离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量 的数量积的绝对值，即 d=|AB·n0|.

→

课前探究学习

课堂讲练互动

题型一

求两点间的距离

正方形 ABCD 和 ABEF 的边 【例1】 如图， 长都是 1,且它们所在平面互相垂直，点 M 在 AC 上，点 N 在 BF 上.若 CM= 2 BN= ,求 MN 的长. 2 [思路探索] 考虑到所给图形易建坐标系，所以可用向量法求解，即求|MN|.课前探究学习 课堂讲练互动

→

解

法一

建立如图所示的空间直角坐

标系. 则 A(1,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1) 2 ∵CM=BN= , 2 且四边形 ABCD、ABEF 为正方形，1 1 1 1 ∴M( ,0, ),N( , ,0), 2 2 2 2

→ 1 1 ∴MN=(0, ,- ), 2 2∴|MN|= 法二

→

1 1 2 2 0+ + = ,即 MN= . 4 4 2 2

以AD、AB、AF为基向量，课前探究学习 课堂讲练互动

→

→

→

2 → 1→ → 1→ ∵CM=BN= ,∴AM= AC,FN= FB. 2 2 2

→ → → 1 → → → 1 → → ∴MN=MA+AN=- (AD+AB)+AF+ (AB-AF) 2 21→ 1→ =- AD+ AF, 2 2 1→ 2 1→2 1 ∴|MN|

= AD + AF = , 4 4 22

→ →

∴|MN|=

2 2 ,即 MN= . 2 2

规律方法 求两点间的距离的向量法主要是坐标法(易建系的)和基向量法(各基向量的模和夹角已知或可求),利用向 量模的定义求解.课前探究学习 课堂讲练互动

AB【变式1】 如图所示，在120°的二面角α - β 中，AC α,BD β且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A、B,已知AC=AB=BD=6,

试求线段CD的长.解 ∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴CA·AB=0,BD·AB=0,

→

→

→

→

又∵二面角 α - β 的平面角为 120°, AB∴〈CA,BD〉=60°, → → → 2 ∴CD =|CD| =(CA+AB+BD)2 2

→

→

→

→ =CA +AB +BD +2(CA·AB+CA·BD+BD·AB)2

→2

→2

→

→

→

→

=3×62+2×62×cos 60°=144,∴CD=12.课前探究学习 课堂讲练互动

题型二

求点到直线的距离

【例2】 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,利用向量法求

点C1到A1C的距离.[思路探索] 本题可先建系，再按求点线距的步骤求解.解 建系如图，以 AB、AD、AA1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴， 则 A1(0,0,1),C(1,1,0),C1(1,1, 1). (1)计算直线 A1C 的方向向量A1C=(1,课前探究学习 课堂讲练互动

→

1,-1). (2)找到直线 A1C 上一点 C(1,1,0). (3)求点 C1 与直线 A1C 上一点 C(1,1,0)的向量 CC1=(0,0,1). -1 (4)求CC1在A1C上的投影，CC1· = . → 3 |A1C|

→

→

→

→

A1C

→

(5)点 C1 到直线 A1C 的距离 d= A1C―→ 2 |CC1 | -|CC1· |= → |A1C|2

→

→

1 6 1- = . 3 3

课前探究学习

课堂讲练互动

规律方法 利用向量求点线距时，不用找到点在直线上的垂足，直接按向量法的求解步骤来求就行，同时线上的点 可以任意取，但一般选择特殊点，同时直线的方向向量也

可以任意取.

课前探究学习

课堂讲练互动

【变式2】 如图，P为矩形ABCD所在平面外 一点，PA⊥平面ABCD,若已知AB=3, AD=4,PA=1,求点P到BD的距离. 解 如图，分别以AB、AD、AP所在直线

为x、y、z轴建系，则P(0,0,1),B(3, 0,0),D(0,4,0),∴PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0), PB·BD -9 ∴ = , → 5 |BD|课前探究学习 课堂讲练互动

→ →

→

→

P 到 BD 的距离 d= PB―→·BD―→ 2 |PB| -| | → |BD|2

→

=

-9 2 13 10-( )= . 5 5

13 ∵P 到 BD 的距离为 . 5

课前探究学习

课堂讲练互动

题型三

求点到平面的距离

【例3】 (12 分)如图，△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD⊥ 平面 BCD,AB⊥平面 BCD,AB=2 3. 求点 A 到平面 MBC 的距离.

[规范解答]取CD的中点O,连结OB,OM,则OB⊥CD, OM⊥CD,又平面MCD⊥平面BCD,则MO⊥平面BCD.

以O为坐标原点，分别以直线OC,BO,OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系

Oxyz.课前探究学习

3分课堂讲练互动

∵△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形， ∴OB=OM= 3,则 O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0, 3),B(0, - 3,0),A(0,- 3,2). 5分

→ → 设平面 MBC 的法向量为 n=(x,y,z),则BC=(1, 3,0),BM= (0, 3, 3), → → n⊥BC, n· =0, x+ 3y=0, BC 由 得 即 → → n⊥BM, n· =0, 3y+ 3z=0, BM 令 x= 3,则平面 BMC 的一个法向量为 n=( 3,-1,1) |BA·n| 2 15 又BA=(0,0,2 3),则所求距离 d= = . |n| 5 10 分 12 分课堂讲练互动

→

→

课前探究学习

【题后反思】 用向量法求点面距的方法与步骤： (1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系； (2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量AB; (3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为 求解方程组，求出法向量 n; → |AB· n| (4)得答案：代入公式 d= 求得答案. |n|

→

课前探究学习

课堂讲练互动

【变式3】 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F、G分 别是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离.解 如图所示，建立空间直角坐标系， 则 A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2), G(2,1,0), ∴EF=(1,-2,1),EG=(2,-1,-1),GA=(0,-1,0), 设 n=(x,y,z)是平面 EFG 的一个法向量， → n· =0, x-2y+z=0, EF 则 ∴ → n· =0, 2x-y-z=0, EG 课前探究学习 …… 此处隐藏：2050字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……