高考数学分类复习数列常见题型和方法

高考数学分类复习数列常见题型和方法

一、基础知识复习

1.等差数列 （1）等差数列的判断：定义法an 1 an d(d为常数）或an 1 an an an 1(n 2)。 （2）等差数列的通项：an a1 (n 1)d或an am (n m)d。

n(a1 an)n(n 1)

d。 （3）等差数列的前n和：Sn ，Sn na1

221315

如a.数列 {an}中，an an 1 (n 2,n N*)，an ，前n项和Sn ，

222

则a1＝＿，n＝＿；

b.已知数列 {an}的前n项和Sn 12n n2，求数列{|an|}的前n项和Tn. (4).等差数列的性质： （1）当公差d 0时，等差数列的通项公式an a1 (n 1)d dn a1 d是关于

n(n 1)dd

d n2 (a1 )n是n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Sn na1

222

关于n的二次函数且常数项为0.

（2）若公差d 0，则为递增等差数列，若公差d 0，则为递减等差数列，若公差d 0，则为常数列。

（3）当m n p q时,则有am an ap aq，特别地，当m n 2p时，则有am an 2ap.

如a.等差数列{an}中，Sn 18,an an 1 an 2 3,S3 1，则n＝____； b.设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若

aSn3n 1

，那么n ___________

bnTn4n 3

c.等差数列{an}中，a1 25，S9 S17，问此数列前多少项和最大？并求此最

大值。

2.等比数列：

（1）等比数列的判断：定义法an 1 q(q为常数），其中q 0,an 0或

an

an 1an anan 1

(n 2)。

如:数列{an}中，Sn=4an 1+1 (n 2)且a1=1，若bn an 1 2an ，求证：数列｛bn｝是等比数列。

（2）等比数列的通项：an a1qn 1或an amqn m。

如设等比数列{an}中，a1 an 66，a2an 1 128，前n项和Sn＝126，求n和公比q.

（3）等比数列的前n和：当q 1时，Sn na1；当q 1时，

a1(1 qn)a1 anq

Sn

1 q1 q

。

如等比数列中，q＝2，S99=77，求a3 a6 a99

（4）等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。

如:有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。

(5).等比数列的性质： （1）当m n p q时，则有am an ap aq，特别地，当m n 2p时，则有am an ap2.

如:各项均为正数的等比数列{an}中，若a5 a6 9，则lo3ga1 loag laog 。 323

(2) 若{an}是等比数列，则{|an|}、{ap nq}(p,q N*)、{kan}成等比数列；若{an}、{bn}成等比数列，则{anbn}、{n成等比数列； 若{an}是等比数列，且公比q 1，则数列Sn,S2n Sn,S3n S2n ， 也是等比数列。当q 1，且n为偶数时，数列Sn,S2n Sn,S3n S2n ， 是常数数列0，它不是等比数列.

如: 在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30 13S10,S10 S30 140，则S20的值为______

3.数列的通项的求法：

an

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知Sn（即a1 a2 an f(n)）求an，用作差法：

an

111S1,(n 1)

a a a 2n 5，。如:数列满足{a}1n22nnSn Sn 1,(n 2)222

求

an (an an 1) (an 1 an 2) (a2 a1) a1(n 2)。

an 1 an f(n)

求an. (3)若

an

用累加法：

如已知数列

{an}

满足

a1 1

，an an 1

1n 1 n

(n 2)

，则

an=________

aaaa

(4)已知n 1 f(n)求an，用累乘法：an n n 1 2 a1(n 2)。

anan 1an 2a1

(5)已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。

如:a.已知a1 1,an 3an 1 2，求an；

b.已知a1 1,an 3an 1 2n，求an. C．已知a1 1,an

an 1

，求an； 3an 1 1

D．已知数列满足a1=1

an.

7.数列求和：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1 2 3 n n(n 1)，12 22 n2 n(n 1)(2n 1)，

26

n(n 1)2

13 23 33 n3 [].

2

222

如:等比数列{an}的前n项和Sｎ＝2ｎ－１，则a12 a2＝_____； a3 an

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

如求：Sn 1 3 5 7 ( 1)n(2n 1) （3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.

012n

2n； 如:求证：Cn 3Cn 5Cn (2n 1)Cn (n 1)

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.

如:设{an}为等比数列，Tn na1 (n 1)a2 2an 1 an，已知T1 1，T2 4，①求数列{an}的首项和公比；②求数列{Tn}的通项公式.

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

； ( )； n(n 1)nn 1n111111；

[ ] ；

(n 1)!n!(n 1)!n(n 1)(n 2)2n(n 1)(n 1)(n 2)

. 如:求和：二、题型训练

1. 已知数列 an 的前n项和为Sn,设an是Sn与2的等差中项,数列 bn 中,b1 1,

点P bn,bn 1 在直线y x 2上. (Ⅰ)求an,bn;

111 1 44 7(3n 2) (3n 1)

(Ⅱ)若数列 bn 的前n项和为Bn,比较

111

与2的大小;

B1B2Bn

(Ⅲ)令Tn

bb1b2

n,是否存在正整数M,使得Tn M对一切正整数na1a2an

都成立?若存在,求出M的最小值;若不存在,请说明理由. 1.解 (Ⅰ)由题意,得2an Sn 2, 2a1 S1 2 a1 2, a1 2. Sn 2an 2,Sn 1 2an 1 2, an 1 Sn 1 Sn 2 an 1 an ,

an 1 2an. 数列 an 是以2为公比,首项a1 2的等比数列,

an 2n(n N*). 点P bn,bn 1 在直线y x 2上,

bn 1 bn 2, 即bn 1 bn 2. 数列 bn 是以2为公差,首项b1 1的等差数列. bn 2n 1(n N*).

(Ⅱ)Bn b1 b2 bn n2,

1111111111

2 2 2 2 1

nB1B2Bn1231 22 3n 1 n11 1 11 1

1 1 2 2.

n 2 23 n 1n

(Ⅲ) Tn

1352n 1bb1b2

n ① n 2 3

2a1a2an222

1Tn

2132n 1

② 23n 1222

1 1

1 n 1

1111 2n 114 2 2n 1 1

n 1, ①-②得Tn 2 2 3 n n 1 2

1222222 2 21 2

Tn 3

为３．

12n 2

2n 111

3T ,TT [,3)． .单调递增，1nnn

222

要使Tn M对一切正整数n都成立，只要M 3且M为正整数，M的最小值