福建省福州市2012年10月高中数学学科会议专题讲座：高考应用题专(2)

以上内容均选自2012年福建高考数学考试说明

数学应用题是指能利用数学知识解决的非数学领域中的问题，数学应用是数学最终价值的体现。数学应用题在数学教育中有其重要的地位，数学应用题是高考中必考的题型。国家考试中心评价报告对应用题给予了充分的关注，要求试题要体现数学的应用价值，要真正使数学服务于生产生活实际，就必须具有建立数学模型的能力。数学教育目标也要求学生从实际问题中抽象出数学问题，并解决问题。培养和提高学生的数学应用意识,是高中数学教学的迫切要求,数学教师在教学中应高度重视应用题教学,根据高中学生的认知规律和思维特点进行应用问题的教学,培养学生的应用意识和应用能力,让数学真正成为对每一学生都具有实用性价值的科学。

自1995年数学应用题进入高考以来，每年不论数学应用题的题目难或易，其得分率都是比较低的。究其原因，一是考生对数学应用题有一种恐惧感；二是考生没有掌握数学应用题求解的一般分析方法；三是考生的应试策略与表述方面还存在一些问题。在高考复习与冲刺阶段如何能在数学应用题方面有所突破呢？下面谈谈我个人的看法，供参考。

（一）学会数学建模分析的步骤

一、数学建模分析的步骤：

1. 读懂题目。应包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。

“整体理解”就是弄清题目所述的事件和研究对象；明白问题说了什么事，学会数学应用的建模分析。

“局部理解”是指抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；一般数学应用题的文字阅读时事刊物较大，通过审题找出关键词和句，并理解其意义。

“分析关系”就是根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；题设材料呈现的文字语言、图形语言转化为符号语言。

“领悟实质”是指抓住题目中的主要问题、正确识别其类型；用恰当的数学方法去解数学模型。

2、建立数学模型，将实际问题抽象为数学问题，从各种关系中找出最关键的数量关系，将这些关系用有关的量及数字、符号表示出来。

3、求解数学模型，根据建立的数学模型，选择合适的方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解。

4、检验，既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求。

二、注意具体的建模分析法：

1、关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法。

2、列表分析法：对于数据较多，较复杂的应用性问题通过列表的方式探索问题的数学模型的方法。

3、图象分析法：通过图象中的数量关系分析建立数学模型的方法。

三、注意语言表达的完整性

数学应用题的求解不同于一般的数学运算题，有人比喻它是数学中的小作文，因此解数学应用题要做到“有头有尾”，把问题中的普通语言转化为数学语言，引入变量与字母，画出图形，将数学建模的过程详细地写出来，建立数学模型后，要准确地求解，并注意计量单位的一致，最后对于所得数据不仅要思考或检验是否与实际吻合，而且要给出完整的答案。（二）2012全国各地高考应用题考查的典型试题

一、排列组合应用题：1、2012安徽（10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间

共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（）

()A1或3()B1或4()

C2或3()

D2或4【解析】选D

2 61315132

C-=-=

①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人

②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人

2、2012福建文科16.某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.

现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为__________

3、2012江西文科5.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4 ， |x|+|y|=2

x，,y）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 ，...，则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为

A.76

B.80

C.86

D.92

二、解析几何应用题：2012全国理科卷（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，

点F在边BC上，AE＝BF＝7

3。动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的

方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）16（B）14（C）12(D)10

2012湖北文科5.过点P（1,1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）

A.x+y-2=0

B.y-1=0

C.x-y=0

D.x+3y-4=0

三、概率统计应用题：1、2012福建理科16.（本小题满分13分）

受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：

将频率视为概率，解答下列问题：

（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； (II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；

（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。

2、2012北京理科17．（本小题共13分）

近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；

（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为c b a ,,其中a ＞0，c b a ++=600。当数据c b a ,,的方差2

s 最大时，写出c b a ,,的值（结论不要求证明），并求此时2

s 的值。 （注：])()()[(1222212x x x x x x n s n -++-+-= ，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数）

解：（ ）由题意可知：

4002=6003。 （ ）由题意可知：

200+60+403=100010。 （ ）由题意可知：22221(120000)3s a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有

280000s =．

3、2012福建文科18.(本题满分12分)

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

（I ）求回归直线方程 y =bx+a ，其中b=-20，a=

y -b x ；

（II ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本） 4、2012辽宁文科（19）(本小题满分12分)