福建省福州市2012年10月高中数学学科会议专题讲座：数列(2)

例2（2012年高考（辽宁理））在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=（B ）

A．58

B．88

C．143

D．176

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【解析】在等差数列中, a1 a11 a4 a8 16, s11

11 (a1 a11)

88,

2

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式,同时考查运算求解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确.

例3（2012年高考（安徽理）

等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11 16,则log2a16

（ B ） A．4

B．5

2

C．

9

D．

【解析】a3a11 16 a7 16 a7 4 a16 a7 q 32 log2a16 5

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、性质及综合应用,同时考查运算求解能力.解答时利用等比数列的性质快速又准确.

2．数列知识与其他内容相结合，要求能力较高

例4（2012高考四川文12）设函数f(x) (x 3) x 1，数列{an}是公差不为0的等差数列，

3

f(a1) f(a2) f(a7) 14，则a1 a2 a7 （ D ）

A、0 B、7 C、14 D、21

【解析】f(x)-2=(x-3) 3+(x-3)是关于（3，0）对称的，f(a1)-2+f(a2)-2+.....+f(a7)-2=14-2*7=0

所以a4=3 a1+ a2+.....+ a7=7a4=21

【点评】本题主要考查等差数列性质与函数性质综合, 有一定的难度

例5（2012年高考（四川理））设函数f(x) 2x cosx,{an}是公差为

列,f(a1) f(a2) f(a5) 5 ,则[f(a3)] a1a3 （ D ）

2

的等差数8

1213212

C． D．

16168

[解析]∵数列{an}是公差为的等差数列,且f(a1) f(a2) f(a5) 5

8

A．0

B．

∴（2a1 a2 a5） (cosa1 cosa2 cosa5) 5

有

没有

2a1 a2 a5） 2 5a3 5 ∴(cosa1 cosa2 cosa5) 0, 即 （

得a3

2

,a1

2

4

,a5

3

4

2

2

3 213 2

∴[f(a3)] a1a3 (2a3 cosa3) a1a5 1616

【点评】本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需考生加强知识系统、网络化学习. 另外,(cosa1 cosa2 cosa5) 0,隐蔽性较强,需要考生具备一定的观察能力.

sinn例6（2012年高考（上海理））设an 1,Sn a1 a2 an. 在S1,S2, ,S100中,正数的个数是n25

（ D ）

A．25.

B．50.

C．75.

D．100.

[解析] 对于1≤k≤25,ak≥0(唯a25=0),所以Sk(1≤k≤25)都为正数.

,则 k ,画出k 终边如右, 当26≤k≤49时,令25

25

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其终边两两关于x轴对称,即有sink sin[(50 k) ],

1sin2 ++23所以Sk 1sin +1sin23 +sin24 +0 21+26sin26 +27sin27 +ksink

sin +sin2 ++(24 26)sin24 +(23 27)sin23 + =12

)sin(50 k) ,其中k=26,27,,49,此时0 50 k k, +(50 kk

所以501 k

1

k

0,又0 (50 k) 24 ,所以sin(50 k) 0,

从而当k=26,27,,49时,Sk都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0. 对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数. 综上,可选D.

【点评】本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题之关键.

3． 等差数列与等比数列的综合应用 ，要求有严格的逻辑推证

(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．(2)方程思想的应用，往往是破题的关键．

例7（2012年高考（四川理））已知数列{an}的前n项和为Sn,且a2an S2 Sn对一切正整数n都成立. (Ⅰ)求a1,a2的值; (Ⅱ)设a1 0,数列{lg

10a1

}的前n项和为Tn,当n为何值时,Tn最大?并求出Tn的最大值. an

【解析】取n=1,得a2a1 s2 s1 2a1 a2, ①

取n=2,得a2 2a1 2a2, ② 又②-①,得 a2(a2 a1) a2 ③ (1)若a2=0, 由①知a1=0,

(2)若a2 0，易知a2 a1 1, ④ 由①④得:a1

2

2 1,a2 2 2;a1 1 2,a2 2 2;

2 1,a2 2 2;

(2)当a1>0时,由(I)知,a1 当n 2时，有（2

2）an s2 sn , (2+2)an-1=S2+Sn-1

n 1

所以,an=2an 1(n 2) 所以an a1(2)令bn lg

(2 1) (2)n 1

10a11100

,则bn 1 lg(2)n 1 lgn 1 an22

所以,数列{bn}是以 则 b1>b2>b3>>b7=lg

1

lg2为公差,且单调递减的等差数列. 2

10

lg1 0 8

11001

当n≥8时,bn≤b8=lg lg1 0

21282

所以,n=7时,Tn取得最大值,且Tn的最大值为 T7=

（7b1 b7）21

7 lg2 22

【点评】本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数

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等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 4．数列的应用题，要求有应用意识

解数列应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，要充分运用观察、归纳、猜想等手段，建立等差数列、等比数列、递推数列等模型 例8【2012高考湖南文20】（本小题满分13分）

某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.

（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an 1与an的关系式；

（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.

【解析】（Ⅰ）由题意得a1 2000(1 50%) d 3000 d，

33

a1 d， an 1 an(1 50%) d an d. 22332333

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an an 1 d ()an 2 d d (an 2 d) d

22222a2 a1(1 50%) d

333

2) ()n 1a1 d 1

222

整理得 an ()

3

. (n )2 2

3

2

n 1

3 3

(3000 d) 2d ()n 1 1 ()n 1(3000 3d) 2d.

2 2 3

2

n 1

由题意，an 4000, ()

(3000 3d) 2d 4000,

3n () 2 1000 1000(3n 2n 1)2 解得d . nn

3n3 2() 12

1000(3n 2n 1)

故该企业每年上缴资金d的值为缴时，经过m(m 3)年企业的剩余资金为４０００元.

3n 2n

【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出an 1与an的关系式an 1

3

an d，第二问，只要把第 …… 此处隐藏：3125字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……