线性代数§5.3相似矩阵

线性代数同济大学第六版

§5.3 相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念与性质定义: 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P, 使 P-1AP = B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似, 对A进行 运算P-1AP, 称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把 A变成B的相似变换矩阵. 定理3: 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同. 证明: 由于矩阵A与B相似, 则存在可逆矩阵P, 使 P-1AP = B 所以, | B– E | = | P-1AP– E | = | P-1AP– P-1EP | = | P-1(A– E)P | = | P-1| | A– E | | P | = | A– E |

线性代数同济大学第六版

推论: 若n阶方阵A与对角阵 =diag( 1, 2,· · · , n ) 相似, 则 1, 2,· · · , n 既是A的n个特征值. 1 2 . 其中 = diag( 1, 2,· · · , n ) = n 若n阶方阵A与对角阵 =diag( 1, 2,· · · , n )相似, 则称方阵A可(相似)对角化. 相似矩阵的性质: 1. 相似矩阵是等价的: (1) 自反性: A与A本身相似; (2) 对称性: 若A与B相似, 则B与A相似; (3) 传递性: 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.

线性代数同济大学第六版

2. P-1(k1A1+k2A2)P = k1P-1A1P+k2P-1A2P. 其中k1, k2是任意常数 3. P-1(A1A2)P = (P-1A1P)(P-1A2P). 4. 若A与B相似, 则Am与Bm相似(m为正整数). 由于矩阵A与B相似, 则存在可逆矩阵P, 使 P-1AP = B, 亦即 A = PBP-1, · · PBP-1 = PBmP-1. 所以, Am = (PBP-1)m = PBP-1PBP-1 · 进一步有, 若 (A)=a0E+a1A+· · · +amAm, 则 (A)=a0PP-1+a1PBP-1+· · · +amPBmP-1 =P(a0E+a1B+· · · +amBm)P-1 =P (B)P-1. 即相似矩阵的多项式, 有相同的相似变换矩阵. 特别当矩阵A与对角阵 =diag( 1, 2,· · · , n )相似时, 则 Am = P mP-1; (A)= P ( )P-1.

线性代数同济大学第六版

k 1 k =

而对于对角阵 , 有 k 2 ; k n

( 1 ) ( 2 ) . ( )= ( ) n

利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式 (A). 结论: 若f( )为矩阵A的特征多项式, 则矩阵A的多 项式f(A)=O. 此结论的一般性证明较困难, 但当矩阵A与对角阵 相似时很容易证明. 即 f ( 1 ) f ( ) 2 P 1 =POP-1=O. f(A)=Pf( )P-1= P f ( ) n

线性代数同济大学第六版

二、利用相似变换将方阵对角化n阶方阵A是否与对角阵 =diag( 1, 2,· · · , n )相似, 则我们需要解决如下两个问题: 1. 方阵A满足什么条件与对角阵 相似; 2. 如何求方阵A与对角阵 相似的相似变换矩阵P. 以下定理及其证明过程回答了以上两个问题. 定理4: n阶矩阵A与对角矩阵 相似(即A能相似对 角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. 证明: 假设存在可逆阵P, 使P-1AP = 为对角阵, 把P用其列向量表示为P=( p1, p2, · · · , pn ). 由P-1AP = , 得AP = P ,

线性代数同济大学第六版

即

1 2 A( p1, p2

, · · · , pn ) = ( p1, p2, · · · , pn ) n ( Ap1, Ap2, · · · , Apn ) = ( 1 p1, 2 p2, · · · , n pn ), 即 Api = i pi ( i =1, 2, · · · , n ). 因而有, 可见, i 是A的特征值, 而P 的列向量pi 就是A的对 应于特征值 i 的特征向量. 再由P的可逆性知, p1, p2, · · · , pn线性无关. 反之, 由于A恰好有n个特征值 1, 2, · · · , n, 并可对 应地求得n个线性无关的特征向量p1, p2, · · · , p n, 这 n 个 特征向量即可构成可逆矩阵P = ( p1, p2, · · · , pn ), 使 · · , n pn ) AP = ( Ap1, Ap2, · · · , Apn ) = ( 1 p1, 2 p2, ·

线性代数同济大学第六版

1 2 = ( p1, p2, · · · , pn ) = P . n 因此有, P-1AP = , 即矩阵A与对角矩阵 相似. 命题得证. 推论: 如果n阶矩阵A有n个互不相等的特征值, 则 A与对角阵相似. 说明: 如果A的特征方程有重根, 此时不一定有n 个线性无关的特征向量, 从而矩阵A不一定能对角化. 但如果能找到n个线性无关的特征向量, 则A还是能对 角化.

线性代数同济大学第六版

例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵: 2 1 2 2 1 2 A 2 2 4 , B 5 3 3 . 2 1 0 4 2 2 1 2 2 4 解: | A– E | = 2 2 2 4 2 =( –2)2( +7) = 0 得A的特征值: 1= 2=2, 3=–7. 将 1= 2=2代入( A– E )x = 0, 得 x1 2 x 2 2 x 3 0 2 x1 4 x 2 4 x 3 0 , 2 x1 4 x 2 4 x 3 0 2 0 0 , p2 1 . 解之得基础解系: p1 1 1

线性代数同济大学第六版

将 3=–7代入( A– E )x = 0, 得 6 x1 2 x 2 2 x 3 0 2 x1 5 x 2 4 x 3 0 , 2 x1 4 x 2 5 x 3 0 1 2 . 解之得基础解系: p3 2 A有3个线性无关的特征向量, 因而A可对角化. 2 1 2 5 3 3 | B– E | = = –( +1)3 = 0 1 0 2 得B的特征值: 1= 2= 3=–1. 将 1= 2 = 3=–1 代入( B– E )x = 0, 得

线性代数同济大学第六版

3 x1 x 2 2 x 3 0 5 x1 2 x 2 3 x 3 0 , x3 0 1 x1 1 p 1 . 故B不能对角化. 解之得基础解系: 1 6 0 4 3 5 0 , A能否对角化? 若能对 例2: 设A= 3 6 1 角化, 求出可逆矩阵P, 使P-1AP = 为对角阵. 4 6 0 0 解: | A– E | = 3 5 3 6 1 = –( –1)2( +2) = 0 得A的特征值: 1= 2=1, 3=–2.

线性代数同济大学第六版

将 1= 2=1代入( A– E )x = 0, 得 3 x1 6 x 2 0 3 x1 6 x 2 0 , 3 x1 6 x 2 0 2 0 解之得基础解系: p1 1 , p2 0 . 0 1 将 3=–2代入( A– E )x = 0, 得

0 6 x1 6 x 2 0, 3 x1 3 x 2 3 x1 6 x 2 3 x 3 0 1 1 . 解之得基础解系: p3 1

线性代数同济大学第六版

令

则有

2 0 1 P p1 , p2 , p3 1 0 1 , 0 1 1 1 0 0 P 1 AP 0 1 0 . 0 0 2

1 2 0 注意: 若令 P p3 , p1 , p2 1 1 0 , 1 0 1 - 2 则有 P 1 AP 1 . 1 矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相 互对应.

线性代数同济大学第六版

三、小结1. 相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系, 它具有很多良好的 性质, 除了课堂内介绍的以外, 还有: (1) 若A与B相似, 则det(A)=det(B); (2) 若A与B相似, f(x)为多项式, 则f(A)与f(B)相似; (3) 若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A-1与B-1 相似. 2. 相似变换与相似变换矩阵 相似变换是对方阵进行的一种运算, 它把A变成 P-1AP, 可逆矩阵P称为进行这一变换的相似变换矩阵.

线性代数同济大学第六版< …… 此处隐藏：2710字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……