概率论与数理统计浙大第四版答案 第三章

概率论与数理统计浙大第四版答案 第三章

概率论与数理统计习题三参考答案

1． 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件进行

检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X表示一天中调

整设备的次数，求E(X)。（设诸产品是否为次品是相互独立的。） 解：解法一 用Y表示10件中次品的个数，则Y~B(10,0.1)

而X表示一天中调整设备的次数，X~B(4,p)， p=p{Y≥2}

Qp{Y≥2}=1 P{Y=0} P{Y=1}

01

(1 0.1) C100.1 (1 0.1)=0.264 =1 C10

10

9

∴E(X)=4p=1.056

解法二 设Xi为发现次品数

0,发现次品数小于等于1

，i=1,2,3,4 Xi=

1，次品数大于1 则X=X1+X2+X3+X4

E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)

∴PXi=0=P{次品数等于0}+P{次品数等于1}

01

(1 0.1)+C100.1 (1 0.1)=0.743 =C10

10

9

{{

}

∴PXi=1=1 PXi=0=0.264 ∴E(X)=4×0.264=1.056

}{}

2． 将3只球随机地逐个放入4只编号分别为1，2，3，4 的盒子中，以X表

示至少有一只球的盒子的最小号码，是求E(X)。 解：解法一 X可取1、2、3、4

1233+C323+C3C337

∴P{X=1}==3

644123

2+C322+C3C319

P{X=2}== 3

644

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13C3 1+C32+C37

P{X=3}== 3

644

11

=3

644

1257937

∴E(X)=1×+2×+3×+4×=

6416646464

22559

解法二 ∴E(X)=1×+2×+3×=

16161616

3． 若随机变量X的分布律为

i

i+12 1()= =Px1 i 2i，i =1,2 ,……., E(X)是否存在。

P{X=4}=

解：E(X)=∑xipi=∑

i=1

i=1

+∞+∞

( 1)

i+1

2i1

=i2i

i+11() = 1∑i=1

+∞

i

4． 设随机变量X的分布律为

X 2 0 2

0.4 0.3 0.3 求E(X)，E(X2)，E(3X2+5)。 解：E(X)= 2×0.4+2×0.3= 0.2 E(X2)=2.8 E(3X2+5)=13.4 5. 设随机变量X的概率密度为

x e,x>0

f(x)=

x≤0 0

求（1）Y=2X， （2）Y=e 2X的数学期望。 解： E(2X)=∫2xf(x)dx=2∫xe xdx=2

∞

+∞

+∞

E(e 2x)=∫e 2xf(x)dx=∫e 3xdx=

2

12y,0≤y≤x≤1

f(x,y)=

其他 0,

1

∞03

6． 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

+∞

+∞

求E(X)，E(Y)，E(XY)，E(X2+Y2)。

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解： fX(x)=∫f(x,y)dy=∫12y2dy=4x3,0≤x≤1

∞

+∞x

∴E(X)=∫xfX(x)dx=∫x 4x3dx=

∞

+∞1

4 5

同理求得：E(Y)=

3 5

1

x

E(XY)=∫∫xyf(x,y)dxdy=∫dx∫xy 12y2dy=

G

1 2

E(X2+Y2)=∫∫(x2+y2)f(x,y)dxdy

G

=∫dx∫(x2+y2) 12y2dx=

1x

16 15

7． 设随机变量X1、X2的概率密度分别为

2x

2e,x>0f1(x)=

x≤0 0, 4x

4e,x>0

f2(x)=

x≤0 0,

2

)；（2）又设X1、X2相互独立，求（1） 求E(X1+X2)，E(2X1 3X2

E(X1X2)。 解：（1）据期望的性质 E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)

=∫xf1(x)dx+∫xf2(x)dx

∞

∞

+∞

+∞

=∫x 2e 2xdx+∫x 4e 4xdx=

∞

22

E(2X1 3X2)=2E(X1) 3E(X2) +∞1

=2× 3∫x2 f2(x)dx

∞2+∞51

=2× 3∫x2 4e 4xdx=

∞82

+∞+∞

113

+= 244

（2） 若X1、X2相互独立

111×= 248

8． 将n只球（1~n号）随机地放进n只盒子（1~n号）中去，一只盒子只能装一只球。若一只球装入与球同号的盒子中，则称为一个配对。记X为总的

E(X1X2)=E(X1)E（X2)=

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配对数，求E(X)。

0,第i只球没有装入同号盒

解：设xi=

1,第i只球装入同号盒 则x

i的分布律为

Qx1,x2Lxn相互独立 ∴x=x1+x2+L+xn

1=1 n

9． 设X，Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

∴E(X)=E(x1)+E(x2)+L+E(xn)=n

y 2x,0<x<1 e,y>0

fX(x)= fY(y)=

其他 0,其他 0,

求D(X+Y)。

解：因为X，Y相互独立

∴D(X+Y)=D(X)+D(Y)

又D(X)=E(X2) (E(X))

2

∴E(X2)=∫x2fX(x)dx=∫x2 2xdx=

∞

+∞1

1

2

E(X)=∫xfX(x)dx=∫ 2x2dx=

∞

+∞1

2 3

∴D(X)=E(X2) (E(X))=

2

1 18

同理求得D(Y)=1

∴D(X+Y)=D(X)+D(Y)=

19 18

，引入新10. 社随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)（D(X)>0）

的随机变量X*=化的随机变量。

X E(X)D(X)

，验证E(X )=0，D(X )=1。X*称为标准

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解：E(X )=E(

X E(X)D(X)

)=

E(X E(X))

D(X)

=0

D(X )=D(

X E(X)D(X)

=

D(X E(X))

=1

D(X)

2

其中D(X E(X)）=E(X E(X))2 (E(X E(X))) =E(X2 2XE(X)+E2(X)) 0=D(X)

11. 已知E(X)=1，E(X2)=3，E(Y)=0，E(Y2)=2，E(XY)=1，求D(X+Y)。 解：D(X+Y)=D(X+Y)2 (E(X+Y))

2

=EX2+2XY+Y2 (E(X)+E(Y))

2

()

=EX2)+2E(XY)+E(Y2 E2(X)+2E(X)E(Y)+E2(Y)

()()

=3+2+2 1=6

12. 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

1,y<x,0<x<1

f(x,y)=

0,其他

求E(X)，E(Y)，COV(X,Y).

解：fX(x)=∫f(x,y)dy=∫1dy=2x，0<x<1

∞

x

+∞

x

E(X)=∫xfX(x)dx=∫2x2dx=

∞

+∞1

2 3

fY(y)=∫

+∞

∞

f(x,y)dx=∫1dx+∫1dx=2

y

y

11

E(Y)=∫yfY(y)dy=∫2ydy=0

∞

1

+∞1

E(XY)=∫∫xyf(x,y)dxdy=∫dx∫xydy=0

G

1x

0 x

∴COV(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y)=0

13. 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

1

(x+y),0≤x≤2,0≤y≤2

f(x,y)= 8

其他 0,

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求E(X)，E(Y)，COV(X,Y),ρXY,D(X+Y). 解：fX(x)=∫f(x,y)dy=∫

1x+1

，0<x<2 (x+y)dy=

∞084

y+1

，0<y<2 据函数的对称性知：fY(x)=4

+∞

2

E(X)=E(Y)=∫xfX(x)dx=∫

∞

2

+∞2

x2+x7

= 46

2

E(XY)=∫∫xyf(x,y)dxdy=∫dx∫xy

G

x+y4

dy …… 此处隐藏：2911字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……