中学数学中换元法的应用与常见错误分析(2)

例9.已知a>2,b>2,求证：a b<ab

分析：因为a,b都在常量2附近变化，运用增量换元法，设a 2 m，b 2 n，其中m>0，n>0，再运算证明。

证明：设a 2 m，b 2 n，其中m>0，n>0

则a b ab 2 m 2 n 2 m 2 n

4 m n 4 2m 2n mn m n mn<0 故a b<ab

不等式证明是中学数学中的一个难点，换元法是常用的一种方法，然而在具体解题时要根据不同的条件和结论进行相应的换元，技巧性很强。

第六章换元法常见错误分析

虽然合理运用换元法能够做到化繁为简，化难为易的作用，但在使用过程中如果不注意等价转化，往往会出现不易察觉的错误。错误常表现为：

6.1将复合函数与原函数混为一谈

函数y F x 经过换元x u 就变为y F u 这种形式的复合函数。常常出现只考虑y F u 的单调性，而不考虑 u 的单调性的情况，最终导致错解。

例10.试讨论函数y

ax x

2

（a<0）的单调性

错解：设x cos , 0, ，则y

acos

acot sin

因为y cot 在 0, 上是减函数，且a<0 所以y

ax x

2

（a<0）是增函数

分析：换元过后，只考虑了y acot 的单调性，没有考虑x cos 的单调性，导致了错解。正确的解答应该在考虑y acot 的单调性的同时，还考虑到

x cos 的单调性，两者结合，最终得出结论。

正确解：设x cos , 0, ，则y

acos

acot sin

因为y acot 在 0, 上是增函数，又因为x cos 在 0, 上是减函

数

所以y

ax x

2

（a<0）是减函数

对于y F u 这种形式的复合函数，在考虑y F u 的单调性的同时，还要考虑 u 的单调性，两者结合，最终得出结论。

6.2改变换元后中间变量的范围

换元后，根据原自变量的范围错误地确定中间变量的取值范围的情况也常常发生。

例11.若log16x logx16 logxy 3，求y的取值范围 错解：设x 16u，则：u

3 3

u 2 4

2

23log16y

3，所以y 16u 3u 3且u 0， uu

y 16 8，又x>0且x 1，即u 0，y 163

所以y 8,163 163,

分析：在用x 1推得y 163时，还包含了u 3的情况，这实际上是错解了u 的范围，造成了非等价转化，从而缩小了y的范围。

正确解：设x 16u，则：u

3 9 u 2 4

2

23log16y

3，所以y 16u 3u 3且u 0 uu

y 16 8

所以y 8,

通过原自变量的范围求解中间变量范围时一定要特别注意，既不能扩大范围，也不能缩小范围，在遇到比较难判断的点时，可以代回原方程进行检验。

6.3换元的选择不恰当

换元的选择不恰当，不仅会使得计算变复杂，很多时候还会导致错解。 例12.设x y2 y x2 1，求x y的最值

y sin ，错解：因为x 1y 1，所以设x cos ，即 0, 0,2 ，

2

, ,

3

2

则cos cos sin sin 1， 两边平方得：sin2 0，

k

k z 2

x y cos sin 2sin

4

k

2sin k z

24 x y的最大值为1，最小值为-1

分析：事实上，由已知可得0 x 1，0 y 1，而上题假设将原函数的定义域扩大了，且条件中没有x2 y2 1，就导致了错解。正确解法是重新换元，再求

x y的最值。

正确解：因为x 1，y 1，又y x2 1 x y2，

所以x 0，同理y 0，即0 x 1，0 y 1

设x cos ，y sin ， , 0,

2

则cos sin sin cos 1，即cos 1

又

2

2

，所以 0，即

，

其

中

x y cos sin cos sin 2sin

4

4

4

3

4

当 当

4

4

时，即 0，x y取最小值为1， 时，即

4

2

4

，x y取最小值为2

运用换元法时要慎重选择中间变量，一旦换元不恰当，就会导致解题错误。快速而又正确地找出中间变量就需要多解题，积累经验。

利用换元法能使问题处理简单快捷，但由于学生概念不清，在代换过程中往往会出现这样那样的错误，并且很难检查出。以上三种最为常见，在解题时更要注意。

结论

换元法的应用非常广泛，本文探讨了换元法运用的最为常见也是最为重要的几个问题，还指出了换元法运用中的常见错误以及如何解决这些错误的方法。通过本文，希望同学对换元法有更深入的了解，对以后的学习有所帮助。

参考文献

1.杨益群 不等式证明方法例谈 数学天地 2002年第6期

2.冯慧云 二次根式化简中的”换元法” 中学数学杂志(初中) 2004年第1期

3.王淑茂，周兴仁 二次函数再学习 数学教学研究 2004年第12期 4.张进礼 分式方程中的解题技巧 数学天地 2004年第9~10期

5.常佩宇，秦雨评，杨强，邹学东 换元法常见错误分析 内江科技 2007年第2期

6.吴付红 换元法在不等式证明中的应用 解题思想方法 2005年第1期 7.殷全 换元法在解方程中的应用 达县师范高等专科学校学报 2006年6月

8.殷明达 不等式证明的若干方法 教学月刊（中学版） 2007年6月上 9.张东晓 巧解因式分解题 西藏科技 2002年12期 10.宫前长 巧用换元法分解因式 中学生 2004年7月

11.于志洪 应用换元法巧解中考数学题 《读写算》（中考版） 2007年7月