中学数学中换元法的应用与常见错误分析

中学数学中换元法的应用与常见错

误分析

目录

第一章 引言 ……………………………………………………… 4 第二章在因式分解中的应用……………………………………… 第三章在化简二次根式中的应用………………………………… 3.1设元代数，化已知为未知………………………………………………… 3.2设元代式，无理变有理…………………………………………………… 第四章在解方程中的应用………………………………………… 4.1分式方程…………………………………………………………………… 4.2一元二次方程……………………………………………………………… 74.3三角有理方程…………………………………………………… 第五章在证明不等式中的应用…………………………………… 5.1三角换元法……………………………………………………… 5.2改变换元后中间变量的范围……………………………………… 第六章换元法常见错误分析……………………………………… 6.1将复合函数与原函数混为一谈…………………………………………… 6.2改变换元后中间变量的范围……………………………………………… 6.3换元的选择不恰当………………………………………………………… 结论…………………………………………………………………………… 参考文献……………………………………………………………

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摘要 换元法是中学数学解题中的一种重要方法，应用十分广泛。本文对换元

法在因式分解、化简二次根式、解方程、证明不等式中的应用以及应用中的常见错误进行分析和探讨。

关键词 换元法 因式分解 化简二次根式 解方程 证明不等式 错误分析

Middle school mathematics for the use of conversion method and analysis of

the common mistakes

ABSTRACT For middle school conversion method is an important and broad method

in solving mathematic problems. In this paper, we will analyse and discuss the use of conversion method on the Element method, the second radical simplification, solving equations, to prove Inequality and the application of common errors.

Keywords: Conversion method, Element method, the second radical simplification,

solving equations, prove Inequality, the application of common errors

第一章 引言

换元法是中学数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变量来代替原式的一部分或改造

原来的式子，使其简化，问题便于解决。

之所以说换元法重要，是因为换元思想是中学教学中要求掌握并熟练应用的。在中考、高考的试卷也常出现运用换元法的试题。

之所以说换元法应用广泛，是因为在因式分解、化简二次根式、解方程、证明不等式等许多题型中都会运用到换元的思想。

同时，由于学生概念不清，在换元过程中往往会出现这样那样的错误，因此需要对常见错误进行分析，防止犯错。

本文探讨了换元法运用的最为常见也是最为重要的几个问题，还指出了换元法运用中的常见错误以及如何解决这些错误的方法。

第二章换元法在因式分解中的应用

因式分解是初中代数课中一种重要的恒等变形，它是分式通分、约分、解方程以及三角函数的基础。学好因式分解，对以后数学的学习有着非常重要的意义。

除教材上介绍的因式分解的方法外，换元法也是一种比较常用的方法。 例1.分解因式： x y 4 x y 4 （济南市 2007）

2

分析：如果将原式变形，就会得到一个二次多项式，不利于因式分解。换个角度考虑，可以将x y看成一个整体，则原式就变成这个整体为未知量的二次多项式。

解：设x y u 原式 u2 4u 4 u 2

2

x y 2

2

例2.分解因式：43x2 x 1x2 2x 3 4x2 x 4

分析：本题如果展开，就会出现四次多项式，不利于因式分解。因此可以尝试用换元法进行因式分解。观察原式中各个局部之间的简单运算关系，有：

4x2 x 4 3x2 x 1 x2 2x 3，将其中两部分设为辅助元，则可以表示

2

出第三部分。

解：设3x2 x 1 A，x2 2x 3 B,则4x2 x 4 A B。

原式 4AB A B A B

2

2

3x2 x 1 x2 2x 3 2x2 3x 2

使用换元法的关键是选择辅助元。在选择辅助元时，要反复比较式子中重复出现的整体结构，以便寻找最恰当的辅助元。

2

2

第三章换元法在化简二次根式中的应用

在化简二次根式的过程中，常常会因为根式下的式子过于复杂而无从下手，这时可以考虑通过换元将复杂的式子简单化，从而有助于二次根式的化简，下面介绍两种应用换元法化简二次根式的方法。

3.1设元代数，化已知为未知

例3.若x

1 1 2

，求2002 x 1 x的值 2 2002

分析：2002是一个较大、带根号的无理数，直接代入较复杂，因此可以尝试用字母换元代入。

1 1 11 1 2

x 1 y y 0 解：设y 2002，则x ，，且y 4yy2 y

2

1 1 1 1 1 1 1 1

y y y y 原式 2 2 4 y2yyy

2

y 2002

3.2设元代式，无理变有理

例4. 化简

aa bba ab

（陕西省 2008）

分析：本题中的式子较复杂，可以利用换元，将无理式转化为有理式，便于计算。 解：设a x，b y，

x3 xy2x x y x y 原式 2

xx yx xy x y a

解题时，根据需要，把较大的数字或复杂的式子用字母代换，这样会使得式子中的各种关系更加明朗，化简或计算也会更加简便。

第四章换元法在解方程中的应用

除了课本中介绍的解方程的基本方法以外，换元法也是解方程的一种常用的方法。如果方程F x 0的左端F x 是一个复合函数：F x f u ，u x ，而方程f u 0和u x 是比较简单的方程，则可进行换元。令u x ，这样方程就转化为f u 0，方便运算。但值得注意的是，换元后的方程定义域发生了变化，应考虑增根或失根的可能。下面就列举三种常见的用换元法可解的方程类型及换元方法。

4.1分式方程

形如af x

b

c 0 fxb

c 0，即au2 bu c 0 u

令u f x ，原方程化为au

c c2 4ab c c2 4ab

解得u ，原方程化为两个简单方程f x1 ，

2a2a c c2 4ab

，注意检验根。 f x2

2a

xx2 15

例5.解方程2

x2x 1

分析：此分式方程左边的两个分式互为倒数，可采用换元法来解。

x15x2 11

u，则 ，原方程化为u 解：设2

u2x 1xu

解得u1

1

，u2 2 2

1x1

，即x2 2x 1 0，解得x1 x2 1 时，有2

2x 12

x

2，即2x2 x 2 0，无实数解 当u2 2时，有2

x 1

当u1

经检验，x 1是原方程的解。

4.2一元二次方程

形如a f x bf x c 0

2

令u f x ，原方程化为一元二次方程ax2 bx c 0< …… 此处隐藏：2307字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……