直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

椭圆的简单几何性质(三)直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

椭圆的简单几何性质(三)前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的 几何性质 , 可以体会到坐标法研究几何图形 的重要作用 , 其实通过坐标法许多几何图形 问题都可以转化为方程知识来处理. 当然具体考虑问题,我们的思维要灵活, 用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大 提高分析问题、解决问题的能力. 本节课 , 我们来学习几个有关直线与椭 圆的综合问题.

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

问题1:直线与圆的位置关系有哪几种？

怎么判断它们之间的位置关系？ d=r 几何法： d>r 代数法： <0 =0

d<r

>0

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直线与椭圆的位置关系的判定问题2:椭圆与直线的位置关系？

Ax+By+C=0 代数法 2 2 由方程组： x y 2 1 ----求解直线与二次曲线有 2 a b 2 mx +nx+p=0(m≠ 0) 关问题的通法。

= n2-4mp>0 =0 <0方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点 相交

相切相离

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例1: 直线y=x-

1 与椭圆x2+4y2=2 2

,判断位置关系。

解：联立方程组

1 y x 2 x2+4y2=2

4 x1 x2 由韦达 5 定理 x1 x2 1 5 消去y 5 x 2 4 x 1 0 ----- (1)

因为 >0 ,所以方程(1)有两个根， 则原方程组有两组解…. 那么，相交所得的弦的弦长是多少？弦长公式：

| AB | 1 k 2 | xA xB |

1 k (xA xB ) 4 xA xB2 2

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直线与二次曲线相交弦长的求法1、直线与圆相交的弦长2、直线与其它二次曲线相交的弦长l 2r d

(1)联立方程组 (2)消去一个未知数 (3)利用弦长公式:

|AB| = 通法

1 k 2 · x1 x2

1 k · (x1 x2) 4 x1 x22 2

A(x1,y1)

1 1 2 1 2 y1 y2 1 2 (y1 y2) 4 y1 y2 k kk 表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点 坐标，一般由韦达定理求得 x1+ x2 与 y1+ y2B(x2,y2)

设而不求

问：当直线斜率不存在时，弦长为？

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x2 y2 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 1 的左、右 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点， 4 求 △F1 AB 的面积.

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组

弦长公式：

| AB | 1 k | x A xB |2

1 k (xA xB ) 4 xA xB2 2

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x2 y2 1,过点P(2,1)作一弦， 例3:已知椭圆 16 4使弦在这点被平分，求此弦所在的直线方程。弦中点问题的两种处理方法： (1)联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； (2)点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。

练习.已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在

的直线方程.

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小

结

1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件； 2、弦长的计算方法：

(1)垂径定理：|AB|= 2 r 2 d 2(只适用于圆)(2)弦长公式：(适用于任何二次曲线) |AB|=

1 k · x1 x2 1 k · (x1 x2) 4 x1 x22 2 2

=

1 1 2 1 2 · y1 y2 1 2 · (y1 y2) 4 y1 y2 k k

3、弦中点问题的两种处理方法： 1)联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； 2)点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。

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例 4: 已知椭圆 x 8 y 8 , 直线 x y 4 0 , 求椭圆 上的一点 P 到直线 l 的最小距离?2 2

分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 x y 4 0 的距离的表达式. x0 y0 4 x0 2 y0 2 d 且 1 1 2 8

尝试遇到困难怎么办?作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.

l

l1 l2

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第二课时 直线与椭圆的位置关系

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复

习

1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件； 2、弦长的计算方法：

(1)垂径定理：|AB|= 2 r 2 d 2 (只适用于圆)(2)弦长公式：(适用于任何二次曲线) |AB|=

1 k · x1 x2 1 k · (x1 x2) 4 x1 x22 2 2

=

1 1 2 1 2 · y1 y2 1 2 · (y1 y2) 4 y1 y2 k k

3、弦中点问题的两种处理方法： 1)联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； 2)点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。

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x2 y2 1 有公共点, 1.(作业本26页3题) y=kx+1与椭圆 5 m 则m的范围( C )

A、(0,1)

B、(0,5 )

C、[ 1,5)∪(5,+∞)

D、(1,+ ∞)

2.x2 y2 1 45 36

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3.作业本27页9题中心在原点,一个焦点为F(0, 5 2 )的 椭圆被直线y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2,求椭 圆方程。

4.已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.

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x2 y2 1 ,求 练习：已知椭圆 16 4 (1)以P(2,-1)为中心的弦所在的直线的方程；(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程； (3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦中点的轨 迹方程。

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x2 y2 5.椭圆 1 的两个焦点为F1 、F2 ,过左焦点 45 20

作直线与椭圆交于A,B 两点,若△ AB F2 的面积为20,

求直线的方程。

y

A (x1 , y1) oF1 B (x2 , y2) F2x

变题：假如直线过原点,其它条件不变,求直线方程。

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

6.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，直线 y=x+1与该椭圆交于点P,Q,OP OQ 0且 PQ 10 , 求椭圆的方程。 2

7.若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于A、B两点， M为AB中点，直线0M(0为原点)的斜率为 2 ,且 OA⊥OB,求椭圆方

程。变式

2

OA⊥OB

| AB | 2 2

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

8.(2007年山东高考题)已知椭圆的中心在坐标 原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离 的最大值为3,最小值为1 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点 (A、B不是左右顶点),且以AB为直径 的圆过椭圆C的右顶点. 求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标

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