2013年考研数学二试题答案

2013年考研数学二试题答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案

一、选择题:1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1) 设cosx 1 xsin (x)，其中 (x)

2

，则当x 0时， (x)是 ( )

(A) 比x高阶的无穷小 (B) 比x低阶的无穷小

(C) 与x同阶但不等价的无穷小 (D) 与x等价的无穷小 【答案】(C)

【解析】 cosx 1 x sin (x)，cosx 1~

12x 2

11

x sin (x)~ x2 sin x() x

22

1

又 sin (x)~ (x) (x)~ x

2

(x)与x同阶但不等价的无穷小. 所以选（C）.

(2) 设函数y f(x)由方程cos(xy) lny x 1确定，则limn[f() 1] ( )

n

2

n

（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 【答案】（A）

【解析】因为x 0时，y 1即f(0) 1.

2

f() f(0)

2

limn f() 1 lim2 2f'(0) 2y'x 0 n n 2 n 0

n

又 cos(xy) lny x 1

1

y' 1 0， y

将x 0,y 1，代入上式得y' 1.

两边对x求导得： sin(xy) y

选（A）.

(3) 设函数f(x)

x sinx,0 x

，F(x) f(t)dt，则 （ ）

2, x 2

（A）x 是函数F(x)的跳跃间断点 （B）x 是函数F(x)的可去间断点

2013年考研数学二试题答案

（C）F(x)在x 处连续但不可导 （D）F(x)在x= 处可导 【答案】（C）

【解析】因x 是f(x)在 0,2 唯一的第一类间断点，即f(x)在 0,2 可积，故

F(x) f(t)dt在 0,2 连续.

x

因x 是f(x)的第一类间断点，故F(x)在x 不可导. 所以选（C）.

1

(x 1) 1,1 x e

(4) 设函数f(x) ，若反常积分 f(x)dx收敛，则 （ ）

1

1

,x e 1 xlnx

（A） 2 （B） 2 （C） 2 0 （D）0 2

【答案】（D） 【解析】

1

f(x)dx

e

1

11

1 1 e(x 1)xlnx

e

1

1

dx，x 1是瑕点，故 1 1时，瑕积分收敛.

(x 1) 1

11 dx (lnx)，要使其收敛，需 0. 1

exlnx

e

综上所述0 2 选（D）. （5）设z

x z zy

( ) f(xy)，其中函数f可微，则

y x yx

'

'

(A) 2yf(xy) (B) 2yf(xy) (C) 【答案】（A）

22

f(xy) (D) f(xy) xx

zyyyyy2

f'(xy) 【解析】 =(f(xy))'=-2f(xy)+f'(xy) y=-2f(xy)+

xxxxxxx z1

-f(xy)+yf'(xy) y xx z1y1

f(xy) f'(xy) x=f(xy)+yf'(xy)

yxxxx z z

+=2yf'(xy) 选（A）.

y x y

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（6）设Dk是圆域D (x,y)|x y 1在第k象限的部分，记

（ ） Ik (y x)dxdy(k 2,2,3,4)则

Dk

22

(A) I1 0 (B)I2 0 (C) I3 0 (D) I4 0 【答案】（B）

【解析】 第二象限中y 0，x 0，始终y x 即 y x 0 I2>0 选（B）. (7) 设A，B，C均为n阶矩阵，若AB C，且B可逆，则 （ ）

(A) 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量等价 (B) 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量等价 (C) 矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量等价 (D) 矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量等价 【答案】（B） 【解析】将A、C按列分块，A ( 1,..., n),C ( 1,..., n) 由于AB C，故

b11...b1n

( 1,..., n) ..... ( 1,..., n)

b...b

nn n1

即 1 b11 1 ... bn1 n,..., n b1n 1 ... bnn n 即C的列向量组可由A的列向量线性表示

由于B可逆，故A CB，A的列向量组可由C的列向量组线性表示 选（B）.

1

1a1 200

(8) 矩阵 aba 与 0b0 相似的充分必要条件为 （ ）

1a1 000

(A)a 0,b 2 (B)a 0,b为任意实数 (C) a 2,b 0 (D)b 0,a为任意实数 【答案】(B)

1a1 200

【解析】令A aba ，B= 0b0 ，

1a1 000

因为A为实对称矩阵，B为对角阵，则A与B相似的充要条件是A的特征值分别为2,b,0

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1

A的特征方程 A E

a 1

a 1

a 1 a 1

b

a a

1

a 0 b

a

1

0

b

a

2

a= 2 b 2a ， 1

因为 2是A的特征值，所以2A E 0 所以 2a 0，即a 0.

当a 0时， A E 2 b ，

2

A的特征值分别为2,b,0所以b为任意常数即可. 故选(B).

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二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

ln(1 x)1

)x ____________. (9) lim(2

x 0x

【答案】e.

1

2

ln(1 x)

) e【解析】 lim(2

x 0x

1

xln(1 x)1lim(1

)x 0xx

e

x 0

lim

x ln(1 x)

x

x

x 02x(1 x)lim

12

e

(10)设函数

f(x)

11 xlim

x 02x1

e e.

x

，则y f(x)的反函数x=f 1(y)在y 0处的导数

dxdy

=_______.

y 0

【解析】

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dx1 dyy 0f ( 1)

(11) 设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos3 ( 是 . 【答案】

6

6

)，则L所围平面图形的面积

12

161 cos6 1 sin6 6 26

【解析】S cos3 d d . 0 2622

6 012

x arctant (12) 曲线 t=1的点处的法线方程为__________.

y ln【答案】y x

4

1

dydy dt t, 【解析】

dxdx dt

1 tdy

tt 1 1.

dxt 1

，y0 ln 4

所以法线方程y y0 1(x x0)，即y x .

4

当t 1时 x0 arctan1 (13) 已知y1 e

3x

xe2x，y2 ex xe2x，y3 xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的

3个解，则该方程满足条件yx 0 0，y'x 0 1的解为y＝____________. 【答案】e

3x

ex xe2x

3x

【解析】y1 y2 e

ex,y1 y3 e3x

故该方程组的通解为y C1e而满足初始条件的解为y e

3x

3x

ex C2e3x xe2x.由y(0) 0,y (0) 1,得C1 1,C2 0.从

ex xe2x.

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(14) 设A (aij)是3阶非零矩阵，A为A …… 此处隐藏：2635字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……