2019年高考数学(理)二轮专题复习突破精练：专题对点练27 不等式

专题对点练27不等式选讲(选修4—5)

专题对点练第45页1.(2019山西吕梁二模,理23)已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.

(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;

(2)如果?x∈R,使得f(x)<2成立,求实数a的取值范围.

解(1)若a=-1,f(x)≥3,即为|x-1|+|x+1|≥3,

当x≤-1时,1-x-x-1≥3,即有x≤-;

当-1<x<1时,1-x+x+1=2≥3不成立;

当x≥1时,x-1+x+1=2x≥3,解得x≥.

综上可得f(x)≥3的解集为.

(2)?x∈R,使得f(x)<2成立,即有2>f(x )min,由函数f(x)=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|,

当(x-1)(x-a)≤0时,取得最小值|a-1|,

则|a-1|<2,即-2<a-1<2,解得-1<a<3.

则实数a的取值范围为(-1,3).

2.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.

(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;

(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.

解(1)当a=-3时,f(x)=

当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;

当2<x<3时,f(x)≥3无解;

当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;

所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}.

(2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.

当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|

?4-x-(2-x)≥|x+a|?-2-a≤x≤2-a.

由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.

故满足条件的a的取值范围为[-3,0].

3.设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;

(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.

解(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.

由此可得x≥3或x≤-1.

故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.

(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.

此不等式化为不等式组

即因为a>0,所以不等式组的解集为.由题设可得-=-1,故

a=2.

4.已知函数f(x)=|2x-a|+a.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;

(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.

解(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.

解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.

因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.

(2)当x∈R时,

f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|

≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,

当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①

当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.

当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).

5.(2019辽宁沈阳一模,理23)设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M.

(1)证明:;

(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,并说明理由.

(1)证明记f(x)=|x-1|-|x+2|=

由-2<-2x-1<0解得-<x<,则M=.

∵a,b∈M,∴|a|<,|b|<.

∴|a|+|b|<.

(2)解由(1)得a2<,b2<.

因为|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=(4a2-1)(4b2-1)>0,所以

|1-4ab|2>4|a-b|2,

故|1-4ab|>2|a-b|.

6.已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集.

(1)求M;

(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.

(1)解f(x)=

当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;

当-<x<时,f(x)<2;

当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.

所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.

(2)证明由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,

从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.?导学号16804230?7.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.

求证:(1)ab+bc+ac≤;

(2)≥1.

证明(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即

ab+bc+ca ≤.

(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a ≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即

≥a+b+c.

所以≥1.?导学号16804231?

8.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.

(1)当a=1时,求不等式f(x )>1的解集;

(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.

解(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.

当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;

当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;

当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.

所以f(x)>1的解集为.

(2)由题设可得f(x)=

所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为

A,B(2a+1,0),C(a,a+1),

故△ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).?导学号16804232?