级数学下册专题提升三以特殊平行四边形为背景的计算与证明同步练

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专题提升三以特殊平行四边形为背景的计算与证明

类型一特殊平行四边形的阅读理解问题

1. 阅读下列材料：

我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形.

结合阅读材料，完成下列问题：

（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形（）

A．平行四边形 B．矩形

C．菱形 D．以上答案都不对

（2）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°. 若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，

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且AB=BC，请直接写出∠ABC的度数

2．一张长方形纸片，剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．

（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．

（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．

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3. 如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长

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小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.

请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形；

（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出x的值.

类型二特殊平行四边形的探究性问题

4. 如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．

（1）求证：EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；

（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论

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5. 翻阅第四章同步，我们曾做过以下题目：

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3 在此基础上，思考并解答以下新问题：

（1）当∠BAC ＝60°时，四边形ADEF 是平行四边形吗？请说明理由；

（2）当△ABC 满足什么条件，四边形ADEF 是菱形？请说明理由；

（3）当△ABC 满足什么条件，四边形ADEF 是矩形？请说明理由；

（4）当△ABC 满足什么条件，四边形ADEF 是正方形？请说明理由.

6. （1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE. 求证：CE ＝CF ；

（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是A B 上一点，G 是AD 上一点，如果∠GCE ＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE ＝BE ＋GD ；

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，（BC>AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，DE ＝10，求四边形ABCD 的面积．

7． 如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm ，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜6），过点D 作DF ⊥BC 于点F ．

（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 的长；

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（2）如图1，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；

（3）如图2，连结DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？

（4）如图3，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D为菱形？

8. 如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.

（1）求证：四边形EGFH是矩形；

（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H 作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路.

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5 参考答案

专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明

1. （1）C 【点拨】根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形． 故选C.

（2）∵等腰Rt △ABD 中，∠BAD=90°，∴AB=AD. ∵AC 为凸四边形ABCD 的和谐线，且AB=BC ，∴分三种情况讨论：若AD=CD ，如图1，则凸四边形ABCD 是正方形，∠ABC=90°；若AD=AC ，如图2，则AB=AC=BC ，△ABC 是等边三角形，∠ABC=60°；若AC=DC ，如图3，则可求∠ABC=150°

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2. （1）矩形ABCD 是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：

（2）裁剪线的示意图如下：

3. （1）证明：由题意可得：△ABD ≌△ABE ，△ACD ≌△ACF ． ∴∠DAB=∠EAB ，∠DAC=∠FAC ，又∠BAC=45°，∴∠EAF=90°． 又∵AD ⊥BC ，∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°． ∴四边形AEGF 是矩形，又∵AE=AD ，AF=AD ，∴AE=AF ． ∴矩 …… 此处隐藏：3422字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……