2019版高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入

2019

课时达标 第24讲 平面向量基本定理及坐标表示

[解密考纲]本考点重点考查平面向量的基本定理、坐标表示及其运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．

一、选择题

1．若向量AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BC →

＝( B ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(3,7)

D ．(－3，－7)

解析 因为AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，所以BC →＝AC →－AB →

＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故选B ．

2．已知向量m ＝(a ，－2)，n ＝(1,1－a )，且m ∥n ，则实数a ＝( B ) A ．－1 B ．2或－1 C ．2

D ．－2

解析 因为m ∥n ，所以a (1－a )＝－2，即a 2

－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2.故选B ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0,0)，A (0,1)，B (1，－2)，C (m,0)．若OB →∥AC →，则实数m 的值为( C )

A ．－2

B ．－12

C ．1

2

D ．2

解析 在平面直角坐标系xOy 中，点O (0,0)，A (0,1)，B (1，－2)，C (m,0)，所以OB →

＝(1，－2)，AC →＝(m ，－1)．又因为OB →∥AC →

，所以m 1＝－1－2，m ＝12

.故选C ．

4．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO →

＝

x AB →＋y AC →

，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( A )

A ．2

3 B ．

33

C ．

2

3

D ．13

解析 设M 为AC 的中点，则AO →＝x AB →＋y AC →＝x AB →＋2y AM →

.因为x ＋2y ＝1，所以O ，B ，M 三点共线．又因为O 是△ABC 的外接圆圆心，所以BM ⊥AC ，从而cos ∠BAC ＝2

3

.故选A ．

5．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，O P →＝x OA →＋y OB →，且B P →＝2P A →

，则( A )

2019

A ．x ＝23，y ＝13

B ．x ＝13，y ＝23

C ．x ＝14，y ＝34

D ．x ＝34，y ＝14

解析 由题意知O P →＝O B →＋B P →，又B P →＝2P A →，所以O P →＝O B →＋23B A →＝O B →＋23

(O A →－O B →)＝23O A →＋13O B →，所以x ＝23，y ＝13

. 6．如图所示，在△ABC 中，点M ，N 分别在AB ，AC 上，且AM →＝2MB →，AN →＝35

AC →，线段CM 与BN 相交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，则AP →用a 和b 表示为( A )

A ．AP →＝49a ＋13b

B ．AP →＝49a ＋23b

C ．AP →＝29a ＋43b

D ．AP →＝47a ＋37b

解析 由于AM →＝23a ，MB →＝a 3，AN →＝35b ，NC →＝25b ，则MC →＝AC →－AM →＝b －23a ，BN →＝AN →－AB →＝35

b －a .设MP →＝λMC →＝λ? ????b －23a ，BP →＝μBN →＝μ? ????35b －a ，由MP →－BP →＝MB →，得λ? ??

??b －23a －μ? ????35b －a ＝13a ，得????? λ＝35μ，－23λ＋μ＝13，解得????? λ＝13，μ＝59，因此AP →＝AB →＋BP →＝a ＋59

? ????35b －a ＝49a ＋13b .

二、填空题

__.5__＝k ，则b ∥)c －a (，若7)k,(＝c ，(1,3)＝b ，(3,1)＝a ．已知向量7 解析 ∵a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，∴a －c ＝(3－k ，－6)．

∵(a －c )∥b ，∴1×(－6)＝3×(3－k )，解得k ＝5.

__.0__＝λ，则)b －a (∥)b ＋a (，若2,2)＋λ(＝b ，1,1)＋λ(＝a ．已知向量8 解析 ∵a ＋b ＝(2λ＋3,3)，a －b ＝(－1，－1)，且(a ＋b )∥(a －b )，∴2λ＋3－1＝3－1，