最全总结递推数列求通项公式的常用方法(2)

b 1b 1

4bn 1 (an 1)bn(n N*),证明：数列{bn}是等差数列；

an1a1a2n

... n (n N*). 23a2a3an 12

类型4 an 1 pan qn（其中p，q均为常数，(pq(p 1)(q 1) 0)）。 （或an 1 pan rqn,其中p，q, r均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn 1，得：

anan 1pan1

引入辅助数列（其中），得： b bnnnn 1n

qqqqq

bn 1

p1

bn 再待定系数法解决。 qq

511n 1

,an 1 an ()，求an。 632

412

an 2n 1 ，n 1,2,3,333

例:已知数列 an 中，a1

变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分） 设数列 an 的前n项的和Sn

n

2n

（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn ，n 1,2,3,

Sn

，证明：

Ti

i 1

3 2

类型5 递推公式为an 2 pan 1 qan（其中p，q均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为an 2 san 1 t(an 1 san) 其中s，t满足

s t p

st q

2

解法二(特征根法)：对于由递推公式an 2 pan 1 qan，a1 ,a2 给出的数列 an ，方程x px q 0，叫

n 1n 1

做数列 an 的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，当x1 x2时，数列 an 的通项为an Ax1 Bx2，其中

A，B由a1 ,a2 决定（即把a1,a2,x1,x2和n 1,2，代入an Ax1

n 1

n 1

，得到关于A、B的方程组）；当 Bx2

x1 x2时，数列 an 的通项为an (A Bn)x1n 1，其中A，B由a1 ,a2 决定（即把a1,a2,x1,x2和n 1,2，

n 1

代入an (A Bn)x1，得到关于A、B的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）:

数列 an ：3an 2 5an 1 2an 0(n 0,n N)， a1 a,a2 b，求数列 an 的通项公式。 例:已知数列 an 中，a1 1,a2 2,an 2 变式:

1.已知数列 an 满足a1 1,a2 3,an 2 3an 1 2an(n N*).

（I）证明：数列 an 1 an 是等比数列；（II）求数列 an 的通项公式； （III）若数列 bn 满足4142...4n

b 1b 1

b 1

21

an 1 an，求an。 33

(an 1)bn(n N*),证明 bn 是等差数列

2.已知数列3.已知数列

an 中，a1 1,a2 2,an 2 2an 1 1an，求an

3

3

an 中，Sn是其前n项和，并且Sn 1 4an 2(n 1,2,

),a1 1，

⑴设数列bn

an 1 2an(n 1,2, )，求证：数列 bn 是等比数列；

an

,(n 1,2, )，求证：数列 cn 是等差数列；⑶求数列 an 的通项公式及前n项和。 n2

⑵设数列cn

类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn f(an)) 解法：这种类型一般利用an

S1 (n 1)

与an Sn Sn 1 f(an) f(an 1)消去Sn (n 2)或与

Sn Sn 1 (n 2)

Sn f(Sn Sn 1)(n 2)消去an进行求解。

例：已知数列 an 前n项和Sn 4 an

12n 2

.

（1）求an 1与an的关系；（2）求通项公式an.

（2）应用类型4（an 1 pan qn（其中p，q均为常数，(pq(p 1)(q 1) 0)））的方法，上式两边同乘以2

n 1

得：

2n 1an 1 2nan 2

由a1 S1 4 a1

1n

a 1.于是数列2an是以2为首项，2为公差的等差数列，所以11 2

2

n

2nan 2 2(n 1) 2n an n 1

2

变式:（2006，陕西,理,2012分)

已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 变式: (2005,江西,文,22．本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3( )

12

n 1

3

(n 3),且S1 1,S2 ,求数列{an}的通项公式.

2

、0，a 0) 类型7 an 1 pan an b(p 1

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an 1 x(n 1) y p(an xn y)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为 an xn y 是公比为p的等比数列。 例:设数列 an ：a1 4,an 3an 1 2n 1,(n 2)，求an. 变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分） 已知数列｛an｝中，a1

1

、点（n、2an 1 an）在直线y=x上，其中n=1,2,3 2

(Ⅰ)令bn an 1 an 3,求证数列 (Ⅱ)求数列 an bn 是等比数列；的通项；(Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列 an bn 的前n项和,是否存在实数 ，使得数列 、

Sn Tn

为等差数列？若存在试求出

n

不存在,则说明理由.

r

类型8 an 1 pan(p 0,an 0)

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an 1 pan q，再利用待定系数法求解。 例：已知数列｛an｝中，a1 1,an 1

12

an(a 0)，求数列 an 的通项公式. a

变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分） 已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0 1,an 1

1

an(4 an),n N. 2

（1）证明an an 1 2,n N; （2）求数列{an}的通项公式an. 变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）

已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3， （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； 记bn=

112

，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1

3Tn 1anan 2

类型9 an 1

f(n)an

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an 1 pan q。

g(n)an h(n)

例：已知数列｛an｝满足：an

an 1

,a1 1，求数列｛an｝的通项公式。

3 an 1 1

变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分） 1.已知数列｛an｝满足：a1＝

33nan－1，且an＝ n 2，n N ）22an－1＋n－1

（1） 求数列｛an｝的通项公式；

（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1 a2 an 2 n！

2、若数列的递推公式为a1

3,

11

2(n )，则求这个数列的通项公式。 an 1an

3、已知数列{an}满足a1 1,n 2时，an 1 an 2an 1an，求通项公式。

4、已知数列｛an｝满足：an

an 1

,a1 1，求数列｛a｝的通项公式。

3 an 1 1

n

5、若数列｛an｝中，a1=1，an 1=

2an

n∈N ，求通项an．

an 2

类型10 an 1

pan q

ran h

pan q

（其中p、q、r、h均为常数，

ran h

解法：如果数列{an}满足下列条件：已知a1的值且对于n N，都有an 1

且ph qr,r 0,a1

1 hpx q

），那么，可作特征方程x ,当特征方程有且仅有一根x0时,则 是等差数rrx h an x0

an x1

是等比数列。

an x2

an 4

,且a1 3,求{an}的通项公式.

2an 3

13an 25

.

an 3

列;当特征方程有两个相异的根x1、x2时，则

例：已知数列{an}满足性质：对于n N,an 1

例：已知数列{an}满足：对于n N,都有an 1

（1）若a1 5,求an;（2）若a1 3,求an;（3）若a1 6,求an;（4）当a1取哪些值时，无穷数列{an}不存在？ 变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）

数列{an}满足a1 1且8an 1an 16an 1 2an 5 0(n 1).记bn

1an

12

(n 1).

（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值； （Ⅱ）求 …… 此处隐藏：2102字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……