最全总结递推数列求通项公式的常用方法

递推数列求通项公式的常用方法 一、公式法

例1、 已知无穷数列 an 的前n项和为Sn，并且an Sn 1(n N*)，求 an 的通项公式？ 【解析】：

Sn 1 an， an 1 Sn 1 Sn an an 1， an 1

n

11

an，又a1 ，

22

1

an .

2

反思：利用相关数列 an 与 Sn 的关系：a1 S1,an Sn Sn 1(n 2)与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.

二、归纳猜想法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.

例2、 已知数列 an 中，a1 1，an 2an 1 1(n 2)，求数列 an 的通项公式. 【解析】：

a1 1，an 2an 1 1(n 2)， a2 2a1 1 3，a3 2a2 1 7

猜测an 2n 1(n N*)，再用数学归纳法证明.（略）

反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.

三 、累加法：利用an a1 (a2 a1) (an an 1)求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an 1 an f(n)的递推数列通项公式的基本方法（f(n)可求前n项和）.

例3 、已知无穷数列 an 的的通项公式是an 的通项公式.

1

2

n

1

，若数列 bn 满足b1 1，bn 1 bn (n 1)，求数列 bn

2

n

1 1

【解析】：b1 1,bn 1 bn (n 1), bn b1 (b2 b1) (bn bn 1)=1++...+

2 2

1

2

n 1

n

1 =2

2

n 1

.

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为an 1 an f(n)。 四 、累乘法:利用恒等式an a1

aa2a3

n(an 0,n 2)求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: a1a2an 1

an 1 g(n)an的递推数列通项公式的基本方法(数列g(n)可求前n项积)。

例4、 已知a1 1,an n(an 1 an)(n N),求数列 an 通项公式.

*

【解析】：

an n(an 1 an),

an 1n 1aaa

,又有an a123 n(an 0,n 2)=

anna1a2an 1

1×× 23

12n

=n,当n 1时a1 1，满足an n， an n. n-1

反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an 1 g(n)an.

五、构造新数列（待定系数法）: 将递推公式an+1 qan d（q,d为常数，q 0，d 0）通过(an 1 x) q(an x)与原递推公式恒等变成an 1

dd q(an )的方法叫构造新数列，也即是待定系数法。 q 1q 1

例5、已知数列 an 中, a1 1,an 2an 1 1(n 2),求 an 的通项公式. 【解析】:利用(an x) 2(an 1 x),求得an 1 2(an 1 1), an 1 是首项为

a1 1 2,公比为2的等比数列,即an 1 2n, an 2n 1

反思：构造新数列的实质是通过(an 1 x) q(an x)来构造一个我们所熟知的等差或等比数列. 六 、倒数变换：将递推数列an 1

can1d11

(c 0,d 0),取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换。然

an dan 1canc

1

后就转变为第五种情况，此时将数列 看成一个新的数列，即再利用“构造新数列”的方法求解。

an

*

例6、 已知数列 an (n N)中, a1 1,an 1

an

,求数列 an 的通项公式.

2an 1

【解析】:将an 1

an11

2 ,取倒数得:

2an 1an 1an

1 111

2, 是以 1为首项,公差为2的等差数列.

a1an 1an

an

11

1 2(n 1), an .

2n 1an

反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了。

七、特征根法：形如递推公式为an 2 pan 1 qan（其中p，q均为常数）。

对于由递推公式an 2 pan 1 qan，有a1 ,a2 给出的数列 an ，方程x px q 0，叫做数列 an 的

2

特征方程。

若x1,x2是特征方程的两个根，

n 1n 1当x1 x2时，数列 an 的通项为an Ax1 Bx2，其中A，B由a1 ,a2 决定（即把a1,a2,x1,x2和n 1,2，

代入an Ax1

n 1

n 1

，得到关于A、B的方程组）； Bx2

n 1

当x1 x2时，数列 an 的通项为an (A Bn)x1，其中A，B由a1 ,a2 决定（即把a1,a2,x1,x2和n 1,2，

n 1

代入an (A Bn)x1，得到关于A、B的方程组）。

例7: 数列 an 满足3an 2 5an 1 2an 0(n 0,n N)， a1 a,a2 b,求an 【解析】：由题可知数列的特征方程是：3x 5x 2 0。 x1 1,x2

2

2

, 3

23

n 1

n 1n 1

A B () an Ax1 Bx2

。又由a1 a,a2 b，于是

a A B

A 3b 2a2n 1

a 3b 2a 3(a b)() 故 2 n

3b A B B 3(a b) 3

反思：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出A,B的用已知量a,b表示的值，从而可得数列{an}的通项公式。

八、不动点法 若A,B

0且AD-BC 0，解x

，数列Ax D

,设 , 为其两根

Cx D

I、若

a

n

是等比数列；II、若

，数列n

1

是等差数列。

an

例8、已知数列{an}满足an 1

7an 2 ，a1 2，求数列{an}的通项公式。 2an 3

【解析】：令x

7x 23x 12

，得2x 4x 2 0，则x=1是函数f(x)的不动点。

2x 34x 7

因为

an 1

7an 25an 5 1 1

2an 32an 3

所以

35

112an 32212{是以 (1 ) ， 所以 数列

an 1an 1 15an 55an 15an 1an 15

an

122n 8112 1 (n 1) ，故an 1为首项，以为公差的等差数列，则。

an 15a1 12 152n 3

7x 23x 1

x 反思：本题解题的关键是先求出函数f(x) 的不动点，即方程的根x 1，进而可推出

2x 34x 7

1an 1

1121

为等差数列，再求出数列 ，从而可知数列{的通项公式，最后求出

an 1 1an 15an 1

数列

{an}的通项公式。

变式:设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3， （Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）｛an｝的通项公式

九、换元法 即是将一复杂的整体用一个新的符号来表示，从而使递推数列看起来更简单，更易找到解决的方法。

例9、 已知数列{an}满足an 1

1

(1 4an 24an)，a1 1，求数列{an}的通项公式。 16

【解析】：令bn 24an，则an

112

a (b(b2 1) 故n 1n 1 1) n

2424

代入an 1

11112

(b2 1) [1 4 (b(1 4an 24an)得n 1n 1) bn] 24162416

即4bn 1

2

(bn 3)2 因为bn 24an 0，故bn 1 24an 1 0

则2bn 1 bn 3，即bn 1

113

b 3 (bn 3)， bn ，可化为n 1

222

1

所以{bn 3}是以b1 3 24a1 3 24 1 3 2为首项，以为公比的等比数列，因此

2

1n 21n 11n 2

bn 3 2 () ()，则bn ()+3，即

2222111

an ()n ()n 。反思：本题解题的关键是通过将 24an

3423

转化bn 1再求出数列

十、取对数法： 形如an 1 pan(p 0,an 0)

这种类型一般是等式两边取对数后转化为an 1 pan q，再利用构造新数列（待定系数法）求解。

r

1

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