第一讲 函数极限连续(改)

第一讲

函数 极限与连续

函数、极限、连续的概念及其性质与运算， 函数、极限、连续的概念及其性质与运算， 是学习高等 数学的的基础， 亦是由初等数学过渡到高等数学的桥梁， 数学的的基础， 亦是由初等数学过渡到高等数学的桥梁， 有关它的内容几乎渗透在每一道试题中，考生不能忽视. 有关它的内容几乎渗透在每一道试题中，考生不能忽视.

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一、考试要求 二、主要内容 三、典型例题分析

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一、考试要求1.理解函数的概念， 掌握函数的表示法， 1.理解函数的概念， 掌握函数的表示法，会建立应用问题 理解函数的概念 的函数关系. 的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 了解函数的有界性 3.理解复合函数及分段函数的概念， 3.理解复合函数及分段函数的概念， 了解反函数及隐函数 理解复合函数及分段函数的概念 的概念. 的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形， 了解初等函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形， 了解初等函数的概念. 掌握基本初等函数的性质及其图形 5.理解极限的概念， 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及 理解极限的概念 函数极限存在与左、右极限之间的关系. 函数极限存在与左、右极限之间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 掌握极限的性质及四则运算法则返回

7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限， 7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限， 掌握极限存在的两个准则 掌握利用两个重要极限求极限的方法. 掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念， 掌握无穷小量的比较方法， 8.理解无穷小量、无穷大量的概念， 理解无穷小量 掌握无穷小量的比较方法， 会用等价无穷小量求极限. 会用等价无穷小量求极限. 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续), 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续), 理解函数连续性的概念 会判别函数间断点的类型. 会判别函数间断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性， 了解连续函数的性质和初等函数的连续性 连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理) 连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理), 并会应用这些性质. 并会应用这些性质.返回

二、主要内容1、掌握基本初等函数的性质及图形 (16个基本函数) (16个基本函数 个基

本函数) 会求函数的定义域及函数的表达式或函数值、 会求函数的定义域及函数的表达式或函数值、会判别函数 的特性(主要是单调性、奇偶性、有界性) 的特性(主要是单调性、奇偶性、有界性) 2、理解极限的定义和它们的性质 有界性、 (收敛数列的有界性、收敛数列与其子数列的关系 收敛数列的有界性 有极限的函数的局部有界性与局部保号性) 有极限的函数的局部有界性与局部保号性) 局部有界性 数列的极限可看成函数极限的特例返回

二、主要内容(一) 关于函数 1.掌握16个基本函数的名称 表达式、定义域、值域、 1.掌握16个基本函数的名称、表达式、定义域、值域、 掌握16个基本函数的名称、 特征、图形. 特征、图形. 2.会求函数的定义域及函数表达式 或函数值 2.会求函数的定义域及函数表达式(或函数值 会求函数的定义域及函数表达式 或函数值) 3.会判别函数的特性 有界性 单调性、周期性、奇偶性) 3.会判别函数的特性(有界性、单调性、周期性、奇偶性 会判别函数的特性 有界性、

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(二) 关于极限 要理解它的概念及性质， 并会求各种形式的极限. 要理解它的概念及性质， 并会求各种形式的极限. 1、数列极限： 数列极限： 函数极限： 2、函数极限： 按自变量的变化趋势分为六种： 1)按自变量的变化趋势分为六种： x0+ x0

x → x0

x →

x →

x→∞

x → +∞

x → ∞

函数极限的定义及极限存在的充要条件. 2)函数极限的定义及极限存在的充要条件.返回

x→x0

当0 < x x0 <δ ( 或x∈U(x0 ,δ ) ) 时 ， 0

o

左极限 : lim f (x) 或 f (x ) + 右极限 : lim f (x) 或 f (x0 ) + x→x0

极限存在的充要条件： 极限存在的充要条件：x→ 0 x

lim f (x) = A lim+ f (x) = lim f (x) = Ax→x0 x→x0返回

lim f ( x) = Ax →∞

ε > 0, X > 0, 使当 x > X 时,恒有 f ( x) A < ε . ε > 0, X > 0, 当f (x) A < ε时, 有

x→ +∞

lim f (x) = A

ε > 0, X > 0, 当 x < X 时, 有 , f (x) A < ε

极限存在的充要条件： 极限存在的充要条件：

lim lim f (x) = A xlim f (x) = x→ ∞ f (x) = A →+∞ x→∞返回

3)极限的性质 3)极限的性质 极限的唯一性 极限的唯一性 收敛数列的有界性、 收敛数列的有界性、收敛数列与其子数列的关系 有界性 有极限的函数的局部有界性与 有极限的函数的局部有界性与局部保号性 局部有界性 (数列的极限可看成函数极限的特例) 数列的极限可看成函数极限的特例)

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4) 无穷小与无穷大的定义

若 lim f ( x) = 0 , 则称 f ( x) 为当 x → 时的无穷小. x→

( x → ∞)

有 f ( x) > M

( X > 0 , )) 当0 < x x0 <δ 时 (当 x > X 时， ,

( lim f (x)

= ∞)x→x0 ( x→ ) ∞返回

无穷小的阶 定义： 定义： 设 lim α = 0 (α ≠ 0) , lim β = 0 ,x→ x→

高阶无穷小 无穷小， 称 β 是比 α 的高阶无穷小，

记作 β = o(α )

若

低阶无穷小 称 β 是比 α 的低阶无穷小 称 β 与 α 是同阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小 无穷小， 称 特别当 C = 1 , β 与 α 的等价无穷小，

记作 α ~ β

或 β ~α返回

阶无穷小. 称 β 是 α 的 k 阶无穷小

常用的等价无穷小： 常用的等价无穷小：

x → 0 时， sin x ~ x ,arctan x ~ x ,

tan x ~ x , arcsin x ~ x ,1 2 1 cos x ~ x , 2

ln(1 + x) ~ x , e x 1 ~ x ,α

(1 + x) 1 ~ α x (α ≠ 0)注记： 注记：若当 x → 时， ( x) → 0 , 则上述等价关系中 x 可全换成 ( x).

1 1 如：当 x → 0 时， sin(3 x) ~ 3 x ; 当 x → ∞ 时，ln(1 + ) ~ x x返回

(11,2/3,4) 已知当 x → 0 时, 函数 f ( x) = 3sin x sin(3 x) 与 cx k 11,2/3,4)是等价无穷小, 则 ( C )

(A) k = 1, c = 4

(B) k = 1, c = 4

(C) k = 3, c = 4

(D) k = 3, c = 4

当 分析： x → 0 时, f ( x) = 3sin x sin(3x) 与 cx k 是等价无穷小， 分析：

f ( x) 3sin x sin(3 x) 则 lim k = lim x → 0 cx x →0 cx k(可用 洛必达法则 或 泰勒公式 求) 可用

=1

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4)掌握极限运算法则、 4)掌握极限运算法则、 极限存在的两个准则 (夹逼准则与 掌握极限运算法则 单调有界准则) 及两个重要极限. 与单调有界准则) 及两个重要极限.

sin x lim =1 x →0 x

1 ) x = e , lim(1+ z) = e lim(1 + x z→ z→ 0 x →∞5)重点掌握求极限的方法 5)重点掌握求极限的方法 (常用来证明数列收敛) 常用来证明数列收敛) (1)求数列的极限常用方法 …… 此处隐藏：3579字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……