高等数学自考8.1二阶常系数线性微分方程

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第四节(*) 第四节(*) 二阶常系数线性微分方程

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一. 二阶线性微分方程解的结构 形如: y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ),(1) 的二阶微分方程,

由于方程中末知函数y及其各阶导数都以一次(线性)形式 出现,故称为二阶线性微分方程。 若 f ( x) ≠ 0 则方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程 若 f ( x) = 0 则称为二阶齐次线性微分方程。 即： y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0, 显然, y = 0 是(2)的解. 讨论非平凡解: 定理1. 如果 y1 ( x), y2 ( x) 是(2)的两个解,则 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) 也是(1)的解,其中 C1 ,C2 为任意常数.(2)

平凡解

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注意: y = C1 y1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) 不一定是通解. 例如: y1 是(2)的解, 则 2 y1 也是(2)的解. 此时 y = C1 y1 + C2 y2 = (C1 + 2C2 ) y1 = Cy1 函数的线性相关和线性无关 定义：设 y1 , y2 , , yn 为定义在 I 上的 n 个函数, 如果存在n个不全为零的常数 k1 , k 2 , , k n ,使得 不是通解

k1 y1 + k 2 y2 + + k n yn ≡ 0则称这些函数线性相关，否则称线性无关。

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例如: 在任意区间I上: 1, cos 2 x, sin 2 x 线性相关

取 k1 = 1, k 2 = k3 = 1, 1 cos 2 x sin 2 x = 0

1, x, x 2对于两个函数: :

线性无关

要使 k1 + k 2 x + k3 x 2 = 0 ,必须 k1 = k 2 = k3 = 0. 如果它们之比为常数,则线性相关;否则,线性无关 定理2. 如果 y1 ( x), y2 ( x)是(2)的两个线性无关的特解,则 y = C1 y1 + C2 y2 是(2)的通解, C1 ,C2为任意常数. 例如: y ′′ + y = 0

y1 = cos x, y2 = sin x 是它的特解,通解 线性无关

∴ y = C1 cos x + C2 sin x

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一般形式: y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ),

(3)

y 是(3)的一个特解, Y = C1 y1 + C2 y2 是(3)对应的奇 定理3. 如果次方程(2)的通解,则 y = Y + y 是(3)的通解.

定理4. 如果 y1 ( x), y2 ( x) 分别是y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f1 ( x ) y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 2 ( x )

的特解,则 y1 ( x) + y2 ( x) 是方程y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) ( 4)

的特解.

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二. 二阶常系数线性方程的解法 二阶常系数齐次线性方程解法 一般形式: 分析 p,q为常数

y ′′ + py ′ + qy = 0,

(1)

由方程特点可看出: y , y ′, y ′′ 为同一类型函数,

y = e rx 之间相差常数因子. 因此假设 rx 将 y = e 代入(1)得:( r 2 + pr + q ) e rx = 0,特征方程

r 2 + pr + q = 0,

( 2)

当 r 满足(2)时, e rx 是(1)的一个特解. 特征根 根据特征根的三种不同情形, 方程(1)的通解有三种情形.

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1.特征根为相异实根 r1 ≠ r2 :

y1 = e , y2 = er1 x

r2 x

是(1)的两个线性无关的特解,r1 x r2 x

则(1)的通解为

y = C1e + C2 e

2.特征根为二重根 r1 = r2 :

y1 = e r1 x 是(1)的一个特解, 求另一个线性无关的特解. r1 x 设 y2 = u ( x)e 代入方程(1):u ′′ + ( 2 r1 + p )u ′ + ( r12 + pr1 + q )u = 0∴

u ′′ = 0u = x, 得到另一个线性无关的特解 y2 = xe r1 x 取

y = C1e r1 x + C2 xe r1 x = (C1 + C2 x)e r1 x 则(1)的通解为

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3.特征根为共轭复根: r1 = α + iβ , r2 == α iβ ( β ≠ 0)

y1 = e , y2 = e 是(1)的两个特解, y1 = e (α + iβ ) x = eαx (cos β x + i sin β x )y 2 = e (α iβ ) x = eαx (cos β x i sin β x )1 y = ( y1 + y 2 ) = eαx cos β x 2 线性无关特解 1 y 2 = ( y1 y 2 ) = eαx sin β x 2i αx 则(1)的通解为 y = e (C1 cos βx + C2 sin βx ) 1

(α + iβ ) x

(α iβ ) x

例: y′′ 3 y′ + 2 y = 0

r 2 3r + 2 = 0,则通解为

r1 = 1, r2 = 2,

y = C1e x + C2 e 2 x

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例: y′′ + 2 y′ + y = 0,

y | x =0 = 4, y′ | x =0 = 2

r 2 + 2 r + 1 = 0,

r1 = r2 = 1,

y = (C1 + C2 x)e x 则通解为 ∴ y ′ = [(C2 C1 ) C2 x]e xy | x =0 = 4 C1 = 4 y′ | x =0 = 2 C2 = 2则特解为 y = ( 4 + 2 x )e x 例: y′′ 2 y′ + 3 y = 0

r 2 2 r + 3 = 0,

r1, 2 = 1 ± 2i ,

y = e x (C1 cos 2 x + C2 sin 2 x) 则通解为

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注:上述解法可推广到 n 阶常系数线性奇次方程:

y ( n ) + p1 y ( n 1) + p 2 y ( n 2 ) + + p n y = 0,特征方程特征根 单实根 r1 一对单复根 r ,2 = α ± iβ

(3)

r n + p1r n 1 + p 2 r n 2 + + p n = 0通解中的对应项 一项 两项 k项 2k 项

Ce rxeαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )

k 重实根 r 一对 k 重复根

e rx (C1 + C2 x + + C k x k 1 )

r1, 2 = α ± iβ

eαx [(C1 + C2 x + + Ck xk 1 ) cosβx + (D1 + D2 x + + Dk xk 1 ) sin βx]

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y ( 5) y ( 4) + y (3) y′′ = 0 例:r 5 r 4 + r 3 r 2 = 0,

r = 0 , 0 ,1, i , i ,

则通解为 y = C1 + C2 x + C3e x + C4 cos x + C5 sin x 二阶常系数线性非齐次方程的解法 一般形式: p,q为常数

y ′′ + py ′ + qy = f (x ),

( 4)

由解的结构可知, (4)的通解是: y = Y + y y . 故只要求出(4)的一个特解

待定系数法

1.

f ( x) = Pn ( x)eαx 型n 次多项式与 指数函数乘积 αx 因此设 y = Q( x)e

待定多项式

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将 y = Q( x)eαx 代入(4)式并整理得:

Q ′′ + ( 2α + p )Q ′ + (α 2 + p α + q )Q = Pn ( x )

( 5)

α 2 + p α + q ≠ 0, (1).当 α 不是特征根时:Q ( x) = Qn ( x) = b0 x n + b1 x n 1 + + bn 1 x + bn 因此取则设

y = Qn ( x)eαx

(2).当 α 是特征单根时: α 2 + p α + q = 0, 2α + p ≠ 0, 因此 Q′(x) 是 n 次多项式, Q(x) 是n+1次多项式, 则设

y = xQn ( x)eαx

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(3).当 α 是特征重根时: α 2 + p α + q = 0, 2α + p = 0, 因此 Q′′(x) 是 n 次多项式, Q (x) 是 n+2 次多项式, 则设

y = x 2Qn ( x)eαxf ( x) = Pn ( x )eαx 型,

例:求 y ′′ 2 y ′ 3 y = 3 x + 1 的一个特解.

r 2 r 3 = 0,2

α = 0 不是特征根, 则设 y = ax + b 由于将 y 代入方程得: 3ax 2a 3b = 3 x + 1 a = 1 3a = 3

1 ∴ b= 2a 3b = 1 3 1 则一个特解为 y = x + 3

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y′′ 5 y′ + 6 y = xe 2 x 的通解. 例:求r 2 5 r + 6 = 0,

r1 = 2, r2 = 3,

则对应的奇次方程的通解为 Y = C1e 2 x + C2 e 3 x 则设 y = x(ax + b)e 2 x 由于 α = 2 是特征单根, 将 y 代入 …… 此处隐藏：3499字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……