2010年北京东城区高考二模数学理科试题(word版含解析)(2)

则MF NF (y1 1)(y2 1) (kx1 2)(kx2 2) k2x1x2 2k(x1 x2) 4

4k2 4．

2 所以FT MF NF．

即FT是MF和NF的等比中项． 13分

19．（本小题满分13分）

证明：（Ⅰ）由于Sn 1 4an 1， ① 当n 2时，Sn 4an 1 1． ②

① ②得 an 1 4an 4an 1．

所以 an 1 2an 2(an 2an 1)． 2分 又bn an 1 2an， 所以bn 2bn 1．

因为a1 1，且a1 a2 4a1 1， 所以a2 3a1 1 4． 所以b1 a2 2a1 2．

故数列 bn 是首项为2，公比为2的等比数列． 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn 2n，则cn

11*

（n N）．

log2bn 3n 3

Tn c1c2 c2c3 c3c4 cncn 1

111 4 55 6 67n (11 4n 4

1

n3 )(4)

n

． 9分

4(n 4)

mnn 2

． n 4n 3

由4mTn (n 2)cn，得

即m

(n 4)(n 2)

．

n(n 3)

n2 6n 8

所以m ． 2

n 3n

3n 838

1 ． 11分

n2 3nn 3n2 3n38 2设f(x) 1 ，x 1． x 3x 3x

15

可知f(x)在[1, )为减函数，又f(1) ，

4

所以m 1

则当n N时，有f(n) f(1)．

*

15． 415

故当m 时，4mTn (n 2)cn恒成立． 13分

4

所以m

20. （本小题满分14分） 解：(Ⅰ) f(x)

'

1a(x 1) a(x 1) 2x(x 1)

(x 1)2 2axx2 (2 2a)x 1

． 3分 22

x(x 1)x(x 1)

因为f(x)在(0, )上为单调增函数， 所以f(x) 0在(0, )上恒成立．

即x (2 2a)x 1 0在(0, )上恒成立． 当x (0, )时，由x (2 2a)x 1 0， 得2a 2 x 设g(x) x

2

2

'

1． x

1

，x (0, )．

x

g(x) x

1 2． x1

，即x 1时，g(x)有最小值2． x

所以当且仅当x

所以2a 2 2． 所以a 2．

所以a的取值范围是( ,2]． 7分 (Ⅱ)不妨设m n 0，则要证

m

1． n

m nm n

，

lnm lnn2mm 1 1

只需证， 2lnn

m2( 1)m即证ln ．

n 1nm2( 1)m

只需证ln 0． 11分

mn 1n

2(x 1)

设h(x) lnx ．

x 1

m

由(Ⅰ)知h(x)在(1, )上是单调增函数，又 1，

n

m

所以h() h(1) 0．

n

m2( 1)m

即ln 0成立．

mn 1nm nm n

所以． 14分

lnm lnn2